Uma correia de 50 cm de largura está se movendo a 30 m / s entre uma fonte de cargas e uma esfera. A correia transporta as cargas para a esfera a uma taxa que corresponde a 100 mu A. (a) Determine a densidade superficial de cargas da correia e (b) a intensidade do potencial elétrico à uma distância z da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma correia (ou correia transportadora) com 50 cm de largura que está se movendo a 30 m/s entre uma fonte de cargas elétricas e uma esfera. Essa correia está transportando cargas para a esfera a uma taxa de 100 microampères (µA).
Matéria envolvida: Eletricidade estática, corrente elétrica e densidade superficial de carga.
O que vamos precisar para resolver:
  • Relação entre corrente elétrica, velocidade da correia e densidade superficial de carga.
  • Fórmulas para calcular a densidade superficial de carga.
  • Conceito de potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.
Agora, vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar a densidade superficial de cargas da correia.
Primeiro, vamos entender o que é densidade superficial de carga. A densidade superficial de carga (σ) é a quantidade de carga elétrica por unidade de área em uma superfície.
Sabemos que a corrente elétrica (I) está relacionada à quantidade de carga que passa por um ponto por unidade de tempo. No caso da correia, a corrente está sendo transportada pela movimentação das cargas na correia.
Fórmula básica:
I = sigma times v times w
Onde:
  • $ I $ é a corrente elétrica,
  • $ \sigma $ é a densidade superficial de carga,
  • $ v $ é a velocidade da correia,
  • $ w $ é a largura da correia.
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ \sigma $:
I
Agora, basta substituir os valores fornecidos:
  • $ I = 100 , \mu A = 100 \times 10^{-6} , A $
  • $ v = 30 , m/s $
  • $ w = 50 , cm = 0,5 , m $
Então:
sigma

Passo 3

Vamos fazer as contas:
sigma = 100 times 10^-630 times 0,5
sigma = 100 times 10^-615
sigma = 10015 times 10^-6
sigma approx 6,6667 times 10^-6 , C/m^2
Ou seja, a densidade superficial de carga é aproximadamente $ 6,67 \times 10^{-6} , C/m^2 $.

Passo 4

Parte (b): Determinar a intensidade do potencial elétrico a uma distância $ z $ da correia.
Agora, vamos calcular o potencial elétrico $ V $ a uma distância $ z $ da correia carregada.
Primeiro, sabemos que a correia tem uma densidade superficial de carga $ \sigma $. Para uma distribuição infinita de carga plana, o campo elétrico $ E $ é dado por:
z
Onde:
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C^2/(N \cdot m^2) $.
O potencial elétrico $ V $ a uma distância $ z $ é obtido integrando o campo elétrico:
V
z
Isso assume que o potencial no ponto da correia ($ z = 0 $) é zero.

Passo 5

Substituindo os valores que já encontramos:
sigma = 6,67 times 10^-6 , C/m^2
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)
Então:
V(z) = 6,67 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 times z
Vamos simplificar os números:
V(z) = 6,67 times 10^-61,77 times 10^-11 times z
V(z) approx 3,77 times 10^5 times z
Portanto, o potencial elétrico a uma distância $ z $ da correia é aproximadamente $ 3,77 \times 10^{5} \times z $ volts.

Resposta

(a) A densidade superficial de cargas da correia é aproximadamente $ 6,67 \times 10^{-6} , C/m^2 $.
(b) A intensidade do potencial elétrico a uma distância $ z $ da correia é $ V(z) \approx 3,77 \times 10^{5} \times z $ volts.

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