Um fio condutor de comprimento total
, conduz uma densidade de corrente que varia da seguinte forma: entre
até
; entre
até
. A partir da equação da continuidade, mostre que a razão entre as densidades de cargas nas duas regiões só depende da posição.
Passo 1
Beleza, olha o que a questão diz e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos um fio de comprimento total L, com densidade de corrente J variando em duas regiões:
Enunciado resumido: temos um fio de comprimento total L, com densidade de corrente J variando em duas regiões:
- Para 0≤x≤l: J(x)=J₀·x
- Para l≤x≤L: J(x)=J₀·x·ln(x)
Conteúdo da matéria: equação da continuidade de carga em uma dimensão, que diz
O que vamos precisar:
- calcular ∂J/∂x em cada região;
- usar ∂ρ/∂t = −∂J/∂x e integrar no tempo;
- formar a razão ρ₂/ρ₁ e ver que ela depende só de x.
Passo 2
Primeiro, lembra a equação da continuidade em 1D:
Isso significa que toda vez que a corrente “muda” de um ponto pro outro (∂J/∂x≠0), a densidade de carga ρ vai variar no tempo pra compensar. A gente escreve então
Passo 3
Região 1 (0≤x≤l):
J(x)=J₀·x
→
Logo
J(x)=J₀·x
→
Logo
Integrando em t (supondo ρ₁(x,0)=0 só pra ficar simples):
Passo 4
Região 2 (l≤x≤L):
J(x)=J₀·x·\ln(x)
→
Então
J(x)=J₀·x·\ln(x)
→
Então
e integrando em t (mesma condição inicial ρ₂(x,0)=0):
Passo 5
Agora a razão entre as densidades nas duas regiões, para um mesmo x e mesmo t, é
Resposta
A razão entre as densidades de carga nas duas regiões é
que depende apenas da posição x.