Um fio condutor de comprimento total L, conduz uma densidade de corrente que varia da seguinte forma: entre x=0 até x=l, J=J0 x A / m^2; entre x=l até x=L, J=J0 x ln x A / m^2. A partir da equação da continuidade, mostre que a razão entre as densidades de cargas nas duas regiões só depende da posição.

Passo 1

Beleza, olha o que a questão diz e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos um fio de comprimento total L, com densidade de corrente J variando em duas regiões:
  • Para 0≤x≤l: J(x)=J₀·x
  • Para l≤x≤L: J(x)=J₀·x·ln(x)
Conteúdo da matéria: equação da continuidade de carga em uma dimensão, que diz
partial rhopartial t ;+;partial Jpartial x ;=;0
O que vamos precisar:
  1. calcular ∂J/∂x em cada região;
  2. usar ∂ρ/∂t = −∂J/∂x e integrar no tempo;
  3. formar a razão ρ₂/ρ₁ e ver que ela depende só de x.

Passo 2

Primeiro, lembra a equação da continuidade em 1D:
partial rho(x,t)partial t + partial J(x)partial x = 0
Isso significa que toda vez que a corrente “muda” de um ponto pro outro (∂J/∂x≠0), a densidade de carga ρ vai variar no tempo pra compensar. A gente escreve então
partial rhopartial t = -partial Jpartial x

Passo 3

Região 1 (0≤x≤l):
J(x)=J₀·x
partial rho1partial t ;=;-J₀
Logo
rho1(x,t) = -J₀,t
Integrando em t (supondo ρ₁(x,0)=0 só pra ficar simples):

Passo 4

Região 2 (l≤x≤L):
J(x)=J₀·x·\ln(x)
partial rho2partial t ;=;-J₀l(ln(x)+1r)
Então
rho2(x,t) = -J₀,tl(ln(x)+1r)
e integrando em t (mesma condição inicial ρ₂(x,0)=0):

Passo 5

Agora a razão entre as densidades nas duas regiões, para um mesmo x e mesmo t, é
rho2(x,t)rho1(x,t) =-J₀,tl(ln(x)+1r)-J₀,t =ln(x)+1

Resposta

A razão entre as densidades de carga nas duas regiões é
boxedrho2(x)rho1(x) ;=;ln(x);+;1,
que depende apenas da posição x.

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