Os correios americanos usam o reconhecimento óptico de caracteres (OCR) desde a metade dos anos 60. Em 1983, os correios começaram a implantar a tecnologia nas principais agências de todo o país (www.britannica.com). Suponha que em uma amostra aleatória de 500 dígitos dos CEPs (código de endereçamento postal) escritos a mão, 466 sejam lidos corretamente.
(a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a proporção verdadeira de dígitos corretos que podem ser lidos corretamente. ( R: 0,910 \leq \pi \leq 0,954 )

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira \pi de dígitos lidos corretamente pelo OCR, com base em uma amostra de tamanho n=500 na qual x=466 dígitos foram lidos corretamente. O conteúdo é estimação de proporção usando a aproximação normal, e vamos precisar de:
  1. A proporção amostral \hat p.
  2. O erro padrão de \hat p.
  3. O valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%.
  4. Calcular a margem de erro e construir o intervalo.

Passo 2

Verificamos as condições para usar a aproximação normal:
  • n\hat p = 500\times\frac{466}{500}=466\ge10.
  • n(1-\hat p)=500\times\bigl(1-\tfrac{466}{500}\bigr)=34\ge10.
    Como ambas são maiores que 10, podemos usar o intervalo aproximado.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{466}{500} = 0,932.

Passo 4

Calculamos o erro padrão de \hat p:
\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,932 \times 0,068}{500}} \approx 0,01127.

Passo 5

O valor crítico para um intervalo de confiança de 95\% é
z_{\alpha/2} = z_{0,025} \approx 1,96.

Passo 6

A margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\times \mathrm{SE}(\hat p) = 1,96 \times 0,01127 \approx 0,0221.

Passo 7

Construímos o intervalo de confiança somando e subtraindo E de \hat p:
\hat p - E = 0,932 - 0,0221 = 0,9099, \qquad \hat p + E = 0,932 + 0,0221 = 0,9541.

Resposta

0,910 \le \pi \le 0,954

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