Um estudo foi feito para analisar a variação no tempo de viagem dos ônibus em uma linha específica. O tempo de viagem é medido em minutos.
  • Amostra de 25 viagens
  • Desvio padrão amostral: 7 minutos
  • Nível de confiança: 90 \%
Calcular o intervalo de confiança para o desvio padrão do tempo de viagem dos ônibus. (R: 5,68 \mathrm{~min} \leq \sigma \leq 9,22 \mathrm{~min} )

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=25 de tempos de viagem, com desvio padrão amostral s=7 minutos, e pede o intervalo de confiança de 90\% para o desvio padrão populacional \sigma. Vamos usar a distribuição qui-quadrado, pois sabemos que
\frac{(n-1)\,S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}.

Passo 2

Para construir o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^2 usamos:
P\Bigl(\chi^2_{1-\frac\alpha2,\,n-1}\le\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi^2_{\frac\alpha2,\,n-1}\Bigr)=1-\alpha.
Invertemos para \sigma^2 e depois extraímos raiz para obter o intervalo de \sigma:
\sqrt{\frac{(n-1)\,S^2}{\chi^2_{\frac\alpha2,\,n-1}}}\;\le\;\sigma\;\le\;\sqrt{\frac{(n-1)\,S^2}{\chi^2_{1-\frac\alpha2,\,n-1}}}\,.

Passo 3

Aqui \alpha=0,10, logo \frac\alpha2=0,05 e 1-\frac\alpha2=0,95. Para n-1=24 graus de liberdade, dos livros ou tabela de \chi^2 obtemos:
\chi^2_{0,05,\,24}\approx13{,}848 \quad\text{e}\quad \chi^2_{0,95,\,24}\approx36{,}415.

Passo 4

Calculamos (n-1)S^2=24\cdot7^2=24\cdot49=1176.
Então o limite inferior é
\sqrt{\frac{1176}{\chi^2_{0,05,\,24}}} =\sqrt{\frac{1176}{13{,}848}} \approx5{,}68\\ \text{min},
e o limite superior é
\sqrt{\frac{1176}{\chi^2_{0,95,\,24}}} =\sqrt{\frac{1176}{36{,}415}} \approx9{,}22\\ \text{min}.

Resposta

5{,}68\\ \text{min}\le\sigma\le9{,}22\\ \text{min}

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