Uma corrente de 200 A é passada através de um fio de aço inoxidável [k = 19 \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ] de 3 mm de diâmetro. A resistividade do aço pode ser considerada como 70 \mu \Omega . \mathrm{cm}, e o comprimento do fio é de 1 m . O fio é submerso em um líquido a 110^{\circ} \mathrm{Ce} experimenta um coeficiente de transferência de calor por convecção de 4 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura central do fio.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a temperatura central do fio (temperatura no eixo, isto é, em r=0) quando o fio está em regime permanente e é resfriado por convecção pelo líquido a 110^{\circ}\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
I = 200\\ \mathrm{A}
\text{diâmetro} = 3\\ \mathrm{mm}â
\rho = 70\\ \mu\Omega\cdot\mathrm{cm}
L = 1\\ \mathrm{m}
k = 19\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C})
T_{\infty} = 110^{\circ}\mathrm{C}\quad(\text{temperatura do líquido})í
h = 4\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}) = 4000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C})
Observações importantes (do enunciado): o fio tem comprimento 1\\ \mathrm{m} e está submerso no líquido; a resistência elétrica do fio produz aquecimento distribuído ao longo do volume do fio (aquecimento volumétrico por efeito Joule). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Converter resistividade para unidades SI ( \Omega\cdot\mathrm{m}).
O enunciado dá \rho = 70\\ \mu\Omega\cdot\mathrm{cm}. Primeiro passo: \mu\Omega = 10^{-6}\\ \Omega, e 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, então 1\\ \Omega\cdot\mathrm{cm}=10^{-2}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Portanto:
\rho = 70\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{cm} = 70\times10^{-6}\times10^{-2}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} = 7{,}0\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Aqui eu expliquei: multiplicamos por 10^{-2} para converter centímetros para metros.

Passo 3

Calcular o raio e a área da seção transversal do fio.
Diâmetro =3\\ \mathrm{mm}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Logo o raio é
a = \frac{3\times10^{-3}}{2} = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Área da seção transversal (círculo):
A = \pi a^2 = \pi (1{,}5\times10^{-3})^2 = \pi \times 2{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 \approx 7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Expliquei: área é \pi r^2; calculei explicitamente.

Passo 4

Calcular a resistência elétrica do fio.
Fórmula da resistência de um fio uniforme:
R = \frac{\rho L}{A}.
Substituindo:
R = \frac{7{,}0\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times 1\\ \mathrm{m}}{7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2} = \frac{7{,}0\times10^{-7}}{7{,}0686\times10^{-6}}\\ \Omega \approx 9{,}903\times10^{-2}\\ \Omega.
Portanto R\approx 0{,}09903\\ \Omega. Aqui usei a definição física \rho = R A / L re-arranjada.

Passo 5

Calcular a potência dissipada por efeito Joule (potência elétrica transformada em calor).
Fórmula:
P = I^2 R.
Substituindo:
P = (200\\ \mathrm{A})^2 \times 0{,}09903\\ \Omega = 40000 \times 0{,}09903\\ \mathrm{W}\approx 3961{,}2\\ \mathrm{W}.
Ou seja, o fio gera cerca de 3{,}96\\ \mathrm{kW} de calor (muito!).

Passo 6

Calcular a geração volumétrica de calor q''' (potência por volume), que será usada na equação de condução térmica.
Volume do fio (comprimento L=1\\ \mathrm{m}):
V = A L = 7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 \times 1\\ \mathrm{m} = 7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Logo
q''' = \frac{P}{V} = \frac{3961{,}2\\ \mathrm{W}}{7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3} \approx 5{,}6051\times10^{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
Expliquei: q''' tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^3 e representa aquecimento volumétrico uniforme.

Passo 7

Derivar a expressão da temperatura radial para um cilindro com geração volumétrica uniforme e convecção na superfície.
Equação diferencial de energia em coordenadas cilíndricas (regime estacionário, simetria azimutal e independente de z):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{q'''}{k} = 0.
Aqui T(r) é a temperatura em função do raio r, k é a condutividade térmica do material, e q''' é a geração volumétrica calculada acima.
Integramos passo a passo:
Multiplicando por r e integrando uma vez:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q'''\,r}{k}
r\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r^2 + C_1.
Pelo fato de a temperatura ser finita no centro ( r=0), o termo C_1 deve ser zero (se não, dT/dr teria singularidade em r=0). Assim C_1=0.
Então
\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r.
Integrando novamente:
T(r) = -\frac{q'''}{4k}r^2 + C_2.
Identificamos T(0)=C_2, ou seja, T(0) é a temperatura central.
A temperatura na superfície r=a é
T_s = T(a) = T(0) - \frac{q'''}{4k}a^2.
Condição de contorno na superfície (convecção):
\text{fluxo condutivo na superfície} = \text{fluxo convectivo},í
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=a} = h\left(T_s - T_{\infty}\right).
Calculando o lado esquerdo:
-k\left(-\frac{q'''}{2k}a\right) = \frac{q'''a}{2}.
Portanto
\frac{q'''a}{2} = h\left(T_s - T_{\infty}\right) \quad\Rightarrow\quad T_s - T_{\infty} = \frac{q'''a}{2h}.
Substituindo T_s = T(0) - \frac{q'''}{4k}a^2, obtemos:
T(0) - \frac{q'''}{4k}a^2 - T_{\infty} = \frac{q'''a}{2h}.
Isolando T(0)-T_{\infty}:
T(0)-T_{\infty} = \frac{q'''a^2}{4k} + \frac{q'''a}{2h}.
Esta é a fórmula que usamos: a primeira parcela é a elevação devido à condução interna; a segunda parcela vem da resistência térmica por convecção na superfície.

Passo 8

Substituir os valores numéricos na expressão final.
Recordando:
q''' \approx 5{,}6051\times10^{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3, \quad a = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \quad k = 19\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C}), \quad h = 4000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}), \quad T_{\infty}=110^{\circ}\mathrm{C}.
Calcular a primeira parcela:
\frac{q'''a^2}{4k} = \frac{5{,}6051\times10^{8}\times(1{,}5\times10^{-3})^2}{4\times19} = \frac{5{,}6051\times10^{8}\times 2{,}25\times10^{-6}}{76} \approx \frac{1261{,}15}{76}\approx 16{,}60\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Calcular a segunda parcela:
\frac{q'''a}{2h} = \frac{5{,}6051\times10^{8}\times 1{,}5\times10^{-3}}{2\times4000} = \frac{8{,}4076\times10^{5}}{8000}\approx 105{,}10\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Somando:
T(0)-T_{\infty} \approx 16{,}60 + 105{,}10 = 121{,}70\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Logo a temperatura central absoluta:
T(0) = T_{\infty} + 121{,}70\\ ^{\circ}\mathrm{C} = 110 + 121{,}70 \approx 231{,}7\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável, T(0)\approx 232^{\circ}\mathrm{C}.
Observação rápida sobre a validade: o número de Biot característico \mathrm{Bi} = \dfrac{h a}{k} = \dfrac{4000\times 1{,}5\times10^{-3}}{19}\approx 0{,}316. Não é muito pequeno (≈0,3), então o uso da distribuição radial é apropriada (não podemos tratar o fio como perfeitamente isoterma). A solução que usei leva em conta a variação radial, portanto é adequada.

Resposta

T_{\text{centro}}\approx 232^\circ\mathrm{C}

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