Uma corrente de 200 A é passada através de um fio de aço inoxidável [k = 19 \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ] de 3 mm de diâmetro. A resistividade do aço pode ser considerada como 70 \mu \Omega . \mathrm{cm}, e o comprimento do fio é de 1 m . O fio é submerso em um líquido a 110^{\circ} \mathrm{Ce} experimenta um coeficiente de transferência de calor por convecção de 4 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura central do fio.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a temperatura central do fio (temperatura no eixo, isto é, em r=0) quando o fio está em regime permanente e é resfriado por convecção pelo líquido a 110^{\circ}\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
I = 200\\ \mathrm{A}
\text{diâmetro} = 3\\ \mathrm{mm}
\rho = 70\\ \mu\Omega\cdot\mathrm{cm}
L = 1\\ \mathrm{m}
k = 19\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C})
T_{\infty} = 110^{\circ}\mathrm{C}\quad(\text{temperatura do líquido})
h = 4\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}) = 4000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C})
Observações importantes (do enunciado): o fio tem comprimento 1\\ \mathrm{m} e está submerso no líquido; a resistência elétrica do fio produz aquecimento distribuído ao longo do volume do fio (aquecimento volumétrico por efeito Joule). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Converter resistividade para unidades SI (\Omega\cdot\mathrm{m}).
O enunciado dá \rho = 70\\ \mu\Omega\cdot\mathrm{cm}. Primeiro passo: \mu\Omega = 10^{-6}\\ \Omega, e 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, então 1\\ \Omega\cdot\mathrm{cm}=10^{-2}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Portanto:
Esta é a fórmula que usamos: a primeira parcela é a elevação devido à condução interna; a segunda parcela vem da resistência térmica por convecção na superfície.
Passo 8
Substituir os valores numéricos na expressão final.
Recordando:
q''' \approx 5{,}6051\times10^{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3, \quad a = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \quad k = 19\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C}), \quad h = 4000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot^{\circ}\mathrm{C}), \quad T_{\infty}=110^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável, T(0)\approx 232^{\circ}\mathrm{C}.
Observação rápida sobre a validade: o número de Biot característico \mathrm{Bi} = \dfrac{h a}{k} = \dfrac{4000\times 1{,}5\times10^{-3}}{19}\approx 0{,}316. Não é muito pequeno (≈0,3), então o uso da distribuição radial é apropriada (não podemos tratar o fio como perfeitamente isoterma). A solução que usei leva em conta a variação radial, portanto é adequada.