Uma corrente de açúcar úmido, que contém um quinto de água em massa, entra em um evaporador no qual 85,0 \% de água são retirados. (a) Tomando como base 100 kg de alimentação, calcule (i) a fração mássica de açúcar seco na corrente de açúcar que deixa o secador, xw, e (ii) a razão (kg H2O vaporizada/kg açúcar úmido que sai do evaporador). (b) Se 1000 ton/dia de açúcar úmido alimentam o evaporador, quanta água adicional deve ser removida do açúcar de saída para secá-lo completamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • (a) Para uma base de 100\\ \text{kg} de alimentação:
    (i) calcular a fração mássica de açúcar seco na corrente que sai do evaporador, x_w;
    (ii) calcular a razão \text{kg H}_2\text{O vaporizada} / \text{kg açúcar úmido que sai do evaporador}çúú.
  • (b) Se a alimentação for 1000\\ \text{ton/dia}, determinar quanta água adicional deve ser removida do açúcar de saída para secá‑lo completamente.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\begin{aligned} &\text{A corrente de açúcar úmido contém } \tfrac{1}{5}\\ \text{de água em massa} \Rightarrow \text{fração de água} = 0,2.\\\ &\text{No evaporador são retirados }85{,}0\% \text{ da água} \Rightarrow \text{fração de água removida} = 0{,}85.\\\ &\text{Base para (a): }100\\ \text{kg (alimentação).}\\\ &\text{Para (b): alimentação }=1000\\ \text{ton/dia} = 1\,000\,000\\ \text{kg/dia.} \end{aligned}çúúéáçãáãáçãáçãçã

Passo 2

Primeiro vamos fazer o balanço de massa na base de 100\\ \text{kg} (isso simplifica e depois escalamos para a parte (b)).
  • Massa de água na alimentação:
\text{água}_{\text{in}} = 100\cdot 0{,}2 = 20\\ \text{kg}.á
  • Massa de açúcar seco (sólidos) na alimentação:
\text{solidos} = 100 - 20 = 80\\ \text{kg}.
  • Água removida pelo evaporador:
\text{água}_{\text{vap}} = 0{,}85\cdot 20 = 17\\ \text{kg}.á
  • Água que permanece na corrente de saída:
\text{água}_{\text{out}} = 20 - 17 = 3\\ \text{kg}.á
  • Massa total da corrente que sai do evaporador:
m_{\text{out}} = \text{solidos} + \text{água}_{\text{out}} = 80 + 3 = 83\\ \text{kg}.á
(Explicação rápida do raciocínio: fizemos um balanço simples de massa para água e para sólidos. A massa de sólidos não muda no evaporador, só a água é reduzida.)

Passo 3

(a)(i) Agora calculamos a fração mássica de açúcar seco na corrente de saída, x_w.
Definição: fração mássica de açúcar seco na saída é a razão entre a massa de açúcar seco e a massa total da corrente que sai. Em fórmula:
x_w = \frac{\text{massa de açúcar seco na saída}}{\text{massa total da saída}}.çúíí
Substituindo os valores que encontramos:
x_w = \frac{80}{83}.
Calculando numericamente:
x_w \approx 0{,}963855\ldots \approx 0{,}9639 \quad(\text{ou }96{,}39\%).
(Interpretação: após o evaporador, quase toda a massa é açúcar seco — faz sentido porque tiramos muita água.)

Passo 4

(a)(ii) Agora a razão \text{kg H}_2\text{O vaporizada} / \text{kg açúcar úmido que sai}çúú.
Definição: é simplesmente a massa de água vaporada dividida pela massa do produto úmido que sai do evaporador. Usamos os valores da base de 100\\ \text{kg}:
\text{razão} = \frac{\text{água}_{\text{vap}}}{m_{\text{out}}} = \frac{17}{83}.ãá
Calculando:
\frac{17}{83} \approx 0{,}204819\ldots \approx 0{,}2048\\ \text{kg H}_2\text{O per kg açúcar úmido que sai}.çúú
(Interpretação: para cada quilograma do açúcar úmido que sai do evaporador, foram vaporados cerca de 0{,}205\\ \text{kg} de água da alimentação.)

Passo 5

(b) Agora a parte com escala: alimentação igual a 1000\\ \text{ton/dia}=1\,000\,000\\ \text{kg/dia}.
Método 1 — balanço direto:
  • Água inicial na alimentação:
\text{água}_{\text{in}} = 1\,000\,000\cdot 0{,}2 = 200\,000\\ \text{kg/dia}.á
  • Água removida pelo evaporador:
\text{água}_{\text{vap}} = 0{,}85\cdot 200\,000 = 170\,000\\ \text{kg/dia}.á
  • Água que permanece no produto de saída (isto é a água que ainda precisa ser removida para secar completamente):
\text{água}_{\text{out}} = 200\,000 - 170\,000 = 30\,000\\ \text{kg/dia}.á
Método 2 — escala da base de 100\\ \text{kg}: na base de 100\\ \text{kg} tínhamos 3\\ \text{kg} de água por 100\\ \text{kg} de alimentação, ou seja 3\%. Escalando para 1\,000\,000\\ \text{kg}:
3\\ \text{kg por }100\\ \text{kg} \times \frac{1\,000\,000}{100} = 3\times10\,000 = 30\,000\\ \text{kg/dia}.
(Os dois métodos dão o mesmo resultado, como deve ser.)
Interpretação final: para secar completamente o açúcar de saída é necessário remover toda a água residual, ou seja 30\,000\\ \text{kg/dia}, que é 30\\ \text{ton/dia}.

Resposta

(a)(i) x_w=\dfrac{80}{83}\approx0{,}9639
(a)(ii) \dfrac{17}{83}\approx0{,}2048\\ \text{kg H}_2\text{O/kg açúcar úmido que sai}çúú
(b) 30\,000\\ \text{kg/dia} (ou 30\\ \text{ton/dia})

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