A decomposição do éter dimetílico \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{O}, a 510{ }^{\circ} \mathrm{C} é um processo de primeira ordem com uma constante de velocidade de 6,8 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1} :
\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{O}_{(g)} \rightarrow \mathrm{CH}_{4(g)}+\mathrm{H}_{2(g)}+\mathrm{CO}_{(g)}
Se a pressão inicial de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{O} for 135 torr, qual será a pressão parcial após 1420 s ?

Passo 1

O enunciado dá a reação de decomposição gasosa
\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2}\mathrm{O}_{(g)} \rightarrow \mathrm{CH}_{4(g)}+\mathrm{H}_{2(g)}+\mathrm{CO}_{(g)}
e informa que, a 510{ }^{\circ}\mathrm{C}, o processo é de primeira ordem com constante de velocidade \;k=6{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}. A pressão parcial inicial do éter dimetílico é \;P_0=135\\ \text{torr}. Pergunta-se qual será a pressão parcial após \;t=1420\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes listadas:
  • Constante de velocidade: \;k=6{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Pressão inicial: \;P_0=135\\ \text{torr}.
  • Tempo: \;t=1420\\ \mathrm{s}.
  • A reação é de primeira ordem (isto determina a forma da lei integrada).
  • Pressões de gases podem ser usadas análogamente a concentrações quando T e V são constantes.

Passo 2

Por que podemos usar pressão no lugar de concentração? Rápida lembrança didática: pela equação de gases ideais \;PV=nRT, para uma amostra gasosa a uma temperatura \;T e volume \;V fixos, a pressão parcial \;P é proporcional à quantidade de matéria \;n, e portanto proporcional à concentração [\mathrm{A}]. Assim, se a lei de velocidade usa [\mathrm{A}], podemos substituir por \;P (mesma dependência temporal). Logo, para uma reação de primeira ordem escrita para a espécie A,
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
temos análogo
\frac{dP}{dt} = -kP,
onde \;P é a pressão parcial da espécie reagente.

Passo 3

Agora vou derivar a lei integrada da cinética de primeira ordem de forma bem didática. Começamos pela equação diferencial:
\frac{dP}{dt} = -kP.
Separamos variáveis (colocamos todos os termos com P de um lado e t do outro):
\frac{dP}{P} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados entre as condições iniciais \;P(0)=P_0 e \;P(t)=P_t:
\int_{P_0}^{P_t}\frac{dP}{P} = -k\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo é \ln\left(\dfrac{P_t}{P_0}\right) e a do direito é -kt. Portanto:
\ln\!\left(\frac{P_t}{P_0}\right) = -kt.
Exponenciando ambos os lados, obtemos a forma prática:
P_t = P_0\,e^{-kt}.
Aqui: \;P_t é a pressão no tempo \;t, \;P_0 é a pressão inicial, \;k é a constante de velocidade e \;t o tempo decorrido.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao problema, substituindo os valores fornecidos:
P_t = P_0\,e^{-kt} = 135\\ \text{torr}\times e^{-\left(6{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}\right)\left(1420\\ \mathrm{s}\right)}.

Passo 5

Calculemos primeiro o produto \;kt:
kt = \left(6{,}8\times10^{-4}\right)\times 1420.
Faço a conta passo a passo:
6{,}8\times10^{-4} = 0{,}00068,
0{,}00068\times1420 = 0{,}00068\times(1000+400+20)=0{,}68+0{,}272+0{,}0136 = 0{,}9656.
Logo,
kt = 0{,}9656.

Passo 6

Agora calculamos e^{-kt}=e^{-0{,}9656}. Uma aproximação prática:
e^{-0{,}9656}\approx 0{,}381.
(Para verificação rápida: e^{0{,}9656}\approx 2{,}626 e 1/2{,}626\approx0{,}381.)

Passo 7

Finalmente multiplicamos pela pressão inicial:
P_t = 135\\ \text{torr}\times 0{,}381 \approx 51{,}4\\ \text{torr}.
Arredondei para três algarismos significativos, mantendo coerência com os dados.

Resposta

51{,}4\\ \text{torr}

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