Uma corrente de alimentação de 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} contém:
30% de soluto S
70% de solvente W
Ela entra em um separador que gera:
corrente 1 (produto): 80 \% \mathrm{~S}
corrente 2 (resíduo): 10% S
A corrente 2 é dividida em:
reciclo (70%)
descarga (30%)
O reciclo retorna e se mistura perfeitamente com a alimentação.
Determine:
A) Vazão total que entra no separador
B) Vazão da corrente produto
C) Vazão da corrente de descarga
Entrada no separador: 533,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}
Produto: 57,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}
Descarga: 142,9 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos e o que o enunciado pede, sem resolver nada ainda.
  • Corrente fresca (alimentação externa): 200\\ \mathrm{kg/h}, contendo 30\% de soluto S e 70\% de solvente W.
  • O separador recebe a mistura (alimentação total) e gera duas correntes:
    • Corrente produto (corrente 1): 80\% de S.
    • Corrente resíduo (corrente 2): 10\% de S.
  • A corrente 2 (resíduo) é partida em:
    • Reciclo: 70\% da corrente 2 retorna ao alimentador.
    • Descarga (purga): 30\% da corrente 2 sai do sistema.
  • O recirculado se mistura perfeitamente com a alimentação fresca e entra novamente no separador (fluxo totalmente misturado).
O que é pedido:
A) Vazão total que entra no separador (ou seja, alimentação total ao separador — soma da alimentação fresca e do recirculado).
B) Vazão da corrente produto (massa total do produto, em \mathrm{kg/h}).
C) Vazão da corrente de descarga (purga, em \mathrm{kg/h}).
Passos seguintes: farei um balanço de massa total e de massa do soluto S, definindo variáveis claras para resolver o sistema.

Passo 2

Definir variáveis e explicar os balanços que vamos usar.
  • Seja F_f a alimentação fresca (externa). Aqui F_f = 200\\ \mathrm{kg/h}.
  • Seja F a alimentação total ao separador (fresca + recirculado).
  • Seja P a vazão do produto (corrente 1).
  • Seja R a vazão do resíduo que sai do separador (corrente 2, antes da divisão).
  • Seja D a vazão da descarga (purga), e L a vazão do recirculado.
  • Proporções dadas:
    • Produto tem 80\% de soluto S \Rightarrow massa de S em P é 0,8P.
    • Resíduo tem 10\% de soluto S \Rightarrow massa de S em R é 0,10R.
    • A corrente 2 é dividida: L = 0,7R (reciclo) e D = 0,3R (descarga).
  • Observação importante para escolher balanços: em regime estacionário, tudo que entra no sistema (fresca) acaba saindo pelas saídas externas (produto P e descarga D), porque o recirculado é interno. Portanto podemos aplicar:
    • Balanço de massa total sobre o sistema global (fresca → produto + descarga).
    • Balanço de soluto S sobre o sistema global (a massa de S na alimentação fresca = massa de S nas saídas externas: produto + descarga).
Vou usar essas duas equações para resolver P e D. Depois calculo R, L e F.

Passo 3

Balanço de massa total (componentes contados pela massa total do fluido).
Explicação: Como o recirculado é interno, a única entrada de massa externa é a alimentação fresca F_f. As únicas saídas externas de massa são o produto P e a descarga D. Logo:
F_f = P + D.
Substituindo F_f = 200\\ \mathrm{kg/h}:
200 = P + D.
Isso significa que a soma das vazões do produto e da descarga deve igualar 200\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Balanço de massa do soluto S (componente-chave).
Explicação didática: Em regime estacionário e com recirculação interna, todo o soluto que entra com a alimentação fresca só pode sair pelas correntes externas (produto P e descarga D). O recirculado não adiciona nem remove soluto do sistema global — ele apenas redistribui. Portanto a massa de S na alimentação fresca é igual à massa de S no produto mais a massa de S na descarga.
Calculemos a massa de soluto na alimentação fresca:
\text{S na alimentação fresca} = 0,30 \times F_f = 0,30 \times 200 = 60\\ \mathrm{kg/h}.çã
Massa de S nas saídas:
  • No produto: 0,8P.
  • Na descarga: a descarga é parte do resíduo, que tem 10\% de S; logo massa de S na descarga é 0,10D.
Logo o balanço de soluto fica:
60 = 0,8P + 0,10D.

Passo 5

Resolver o sistema linear formado por
\begin{cases} 200 = P + D,\\[4pt] 60 = 0,8P + 0,10D. \end{cases}
Vou eliminar D usando D = 200 - P. Substituindo na segunda equação:
60 = 0,8P + 0,10(200 - P).
Desenvolvendo:
60 = 0,8P + 20 - 0,10P.
Agrupando os termos em P:
60 = 0,70P + 20.
Isolando P:
0,70P = 60 - 20 = 40,
P = \frac{40}{0,70} = \frac{40}{0,7}.
Fazendo a divisão (explicando como na prova sem calculadora: 40/0,7 = 400/7 \approx 57,142857\ldots):
P \approx 57,142857\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando razoavelmente para uma casa decimal (se desejar):
P \approx 57,1\\ \mathrm{kg/h}.
Agora D = 200 - P:
D = 200 - 57,142857\ldots \approx 142,857143\\ \mathrm{kg/h},
ou arredondando:
D \approx 142,9\\ \mathrm{kg/h}.]

Passo 6

Calcular as outras vazões internas: resíduo R, recirculado L e alimentação total F ao separador.
Lembrando: D = 0,3R (descarga é 30\% do resíduo), então
R = \frac{D}{0,3} = \frac{142,857143}{0,3} = \frac{142,857143}{0{,}3}.
Fazendo a divisão:
R \approx 476,190476\\ \mathrm{kg/h}.
Recirculado L = 0,7R:
L = 0,7 \times 476,190476 \approx 333,333333\\ \mathrm{kg/h}.
Alimentação total ao separador F é alimentação fresca mais recirculado:
F = F_f + L = 200 + 333,333333 \approx 533,333333\\ \mathrm{kg/h},
ou arredondando:
F \approx 533,3\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Verificação rápida dos balanços (para garantir que não houve erro aritmético):
  • Soma das saídas externas: P + D \approx 57,142857 + 142,857143 = 200\\ \mathrm{kg/h} — confere com F_f.
  • Balanço de soluto: 0,8P + 0,10D \approx 0,8\times57,142857 + 0,10\times142,857143 = 45,7142856 + 14,2857143 = 60\\ \mathrm{kg/h} — confere com os 60\\ \mathrm{kg/h} de soluto da alimentação fresca.
Tudo consistente.

Passo 8

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Fazer sempre antes: identificar entradas externas e saídas externas; itens recirculados são internos e não entram no balanço global externo.
  • Usar dois balanços fundamentais para problemas com recirculação simples: balanço de massa total global e balanço do componente-chave (aqui soluto S). Essas duas equações em dois incógnitos resolvem P e D diretamente.
  • Depois que P e D estão conhecidos, recuperar R por R = D/0{,}3, L = 0{,}7R e F = F_f + L.
Força! Está feito — você consegue reproduzir isso na prova seguindo os passos.

Resposta

F = 533{,}3\\ \mathrm{kg/h}
P = 57{,}1\\ \mathrm{kg/h}
D = 142{,}9\\ \mathrm{kg/h}

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