Uma corrente alternada
i & =I sen k t A, t>0 & =0, t<0
é fornecida a um elemento cuja tensáo ếv =a i, a >0.
Calcule a energia entregue ao elemento entre 0 e T segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que o enunciado diz e o que precisamos saber.
Temos uma corrente alternada
i(t) = Isin(kt), & t>0, 0, & t<0,
que é aplicada num elemento cuja tensão é dada por
v(t)=a,i(t),
com . A missão é achar a energia entregue a esse elemento entre e .
Conteúdo envolvido: potência e energia em circuitos elétricos, cálculo de integrais e uso da identidade trigonométrica .

Passo 2

Primeiro, lembre que a potência instantânea p(t)=v(t),i(t) num elemento é
p(t)=a,i(t)cdot i(t)=a,[i(t)]^2
Como p(t)=a,I^2sin^2(kt) , substituindo a gente tem
Então, no intervalo de interesse ( ),

Passo 3

A energia W=integral0^T p(t),dt =integral0^T a,I^2sin^2(kt),dt =a,I^2integral0^Tsin^2(kt),dt entregue entre sin^2 x = 1-cos(2x)2 e sin^2(kt) =1-cos(2kt)2 é a integral da potência:
Agora precisamos integrar . Pra isso usamos a identidade
Logo,

Passo 4

Substituindo na integral:
W =a,I^2integral0^T1-cos(2kt)2,dt =a,I^22integral0^Tl(1-cos(2kt)r)dt
Vamos dividir em duas integrais:
integral0^T1,dt=T, integral0^Tcos(2kt),dt =sin(2kt)2k|0^T =sin(2kT)2k
Então
W =a,I^22l[T - sin(2kT)2kr] =a,I^2,T2 -a,I^24k,sin(2kT)

Resposta

boxedW =a,I^2,T2 -a,I^24k,sin(2kT)

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