P 1.2-2 A corrente em um componente de um circuito é i(t)=4\left(1-e^{-5 t}\right) A para t \geq o e i(t)=0 para t<0. Determine a carga total que entrou no componente até um instante t \geq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a corrente em um componente como
i(t)=4\bigl(1-e^{-5t}\bigr) A para t\ge0 (e i(t)=0 para t<0).
O conteúdo principal é a relação entre corrente e carga elétrica: a carga acumulada até o instante t é dada pela integral da corrente, ou seja,
Q(t)=\int_{0}^{t}i(\tau)\,d\tau.

Passo 2

Vamos então escrever
Q(t)=\int_{0}^{t}4\bigl(1-e^{-5\tau}\bigr)\,d\tau
e calcular essa integral definida.

Passo 3

Para integrar 4\bigl(1-e^{-5\tau}\bigr), separamos em duas parcelas:
\int\!4\,d\tau=4\tau, \qquad \int\!4\,e^{-5\tau}d\tau =4\int e^{-5\tau}d\tau =4\Bigl(-\frac{1}{5}e^{-5\tau}\Bigr) =-\frac{4}{5}e^{-5\tau}.
Logo, uma antiderivada é
4\tau-\frac{4}{5}e^{-5\tau}.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a t:
Q(t) =\Bigl[\,4\tau-\tfrac{4}{5}e^{-5\tau}\Bigr]_{0}^{t} =\bigl(4t-\tfrac{4}{5}e^{-5t}\bigr) -\bigl(0-\tfrac{4}{5}e^{0}\bigr) =4t-\frac{4}{5}e^{-5t}+\frac{4}{5}.
Reagrupando podemos escrever
Q(t)=4t+\frac{4}{5}\bigl(1-e^{-5t}\bigr).

Resposta

Q(t)=4t+\frac{4}{5}\bigl(1-e^{-5t}\bigr)\quad\text{(coulombs, para }t\ge0\text{).}

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