A corrente elétrica que atravessa uma seção reta de um fio é dada por
em que
está em ampères (A) e
em segundos (s).
Determine a carga total que atravessa a seção do fio entre os instantes
e
.
Determine a carga total que atravessa a seção do fio entre os instantes
Passo 1
O enunciado fornece a corrente elétrica que atravessa uma seção reta de um fio como sendo
, onde
está em ampères (A) e
em segundos (s). A pergunta é: determinar a carga total que atravessa a seção do fio entre os instantes
e
.
Informações relevantes dadas:
-
(em A). - Intervalo de tempo:
vai de até s. - Pergunta: calcular a carga total que atravessa a seção nesse intervalo.
Passo 2
Entendendo a relação entre corrente e carga (a ideia fundamental).
- A corrente elétrica
é a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Em forma de equação:
Isto significa que a corrente indica quantos coulombs por segundo passam pela seção em cada instante. Para obter a carga total que passou entre dois instantes, somamos (integramos) essa taxa ao longo do tempo.
Passo 3
Transformar a relação em integral e explicar o que significa.
- A carga total
que atravessa a seção entre e é a integral definida da corrente nesse intervalo:
- No nosso caso
e , então
Explicação didática: a integral definida
calcula a soma contínua (área sob a curva
no gráfico corrente vs tempo) — essa área corresponde à quantidade total de carga que passou.
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) de
passo a passo e justificar cada termo.
- Regras básicas de antiderivação usadas:
- A antiderivada de
elevada à potência é (para ). - A antiderivada de uma constante
é .
- A antiderivada de
- Aplicando a essas parcelas:
- Para
: - Para
:
- Para
- Somando as antiderivadas obtemos uma primitiva de
:
onde
é a constante de integração (não necessária para integral definida).
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
- Pelo teorema fundamental do cálculo:
- Calcular os valores:
-
-
- Soma:
- Subtraindo o valor em
(que é ) mantém .
-
- Portanto
.
Passo 6
Checando unidades e dando uma interpretação alternativa (método do valor médio) — para fixar a ideia.
- Unidade: corrente em ampères (A) vezes tempo em segundos (s) dá coulombs (C). Logo
tem unidade de coulombs. - Método alternativo (intuitivo para função linear): a carga é a área sob a reta
entre e . Para uma função linear, a área é a de um trapézio com bases e e altura . - Calcular
- Calcular
- Área (carga)
- Calcular
- Esse método confirma o resultado anterior e reforça o conceito de integral como área.