A corrente elétrica que atravessa uma seção reta de um fio é dada por
i(t)=4 t+2
em que i está em ampères (A) e t em segundos (s).
Determine a carga total que atravessa a seção do fio entre os instantes t=0 e t=5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece a corrente elétrica que atravessa uma seção reta de um fio como sendo i(t)=4t+2, onde i está em ampères (A) e t em segundos (s). A pergunta é: determinar a carga total que atravessa a seção do fio entre os instantes t=0 e t=5\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes dadas:
  • i(t)=4t+2 (em A).
  • Intervalo de tempo: t vai de 0 até 5 s.
  • Pergunta: calcular a carga total que atravessa a seção nesse intervalo.

Passo 2

Entendendo a relação entre corrente e carga (a ideia fundamental).
  • A corrente elétrica i(t) é a taxa de variação da carga q(t) em relação ao tempo. Em forma de equação:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Isto significa que a corrente indica quantos coulombs por segundo passam pela seção em cada instante. Para obter a carga total que passou entre dois instantes, somamos (integramos) essa taxa ao longo do tempo.

Passo 3

Transformar a relação em integral e explicar o que significa.
  • A carga total Q que atravessa a seção entre t=a e t=b é a integral definida da corrente nesse intervalo:
Q=\int_{a}^{b} i(t)\,dt.
  • No nosso caso a=0 e b=5, então
Q=\int_{0}^{5} i(t)\,dt=\int_{0}^{5} (4t+2)\,dt.
Explicação didática: a integral definida \int_{0}^{5} i(t)\,dt calcula a soma contínua (área sob a curva i(t) no gráfico corrente vs tempo) — essa área corresponde à quantidade total de carga que passou.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de i(t) passo a passo e justificar cada termo.
  • Regras básicas de antiderivação usadas:
    • A antiderivada de t elevada à potência n é \dfrac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1).
    • A antiderivada de uma constante c é c t.
  • Aplicando a essas parcelas:
    • Para 4t: \displaystyle\int 4t\,dt = 4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}.
    • Para 2: \displaystyle\int 2\,dt = 2t.
  • Somando as antiderivadas obtemos uma primitiva de 4t+2:
\int (4t+2)\,dt = 2t^{2}+2t + C,
onde C é a constante de integração (não necessária para integral definida).

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
  • Pelo teorema fundamental do cálculo:
Q=\int_{0}^{5} (4t+2)\,dt = \Big[2t^{2}+2t\Big]_{0}^{5} = \left(2\cdot 5^{2}+2\cdot 5\right)-\left(2\cdot 0^{2}+2\cdot 0\right).
  • Calcular os valores:
    • 2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50.
    • 2\cdot 5=10.
    • Soma: 50+10=60.
    • Subtraindo o valor em t=0 (que é 0) mantém 60.
  • Portanto Q=60.

Passo 6

Checando unidades e dando uma interpretação alternativa (método do valor médio) — para fixar a ideia.
  • Unidade: corrente em ampères (A) vezes tempo em segundos (s) dá coulombs (C). Logo Q=60 tem unidade de coulombs.
  • Método alternativo (intuitivo para função linear): a carga é a área sob a reta i(t) entre 0 e 5. Para uma função linear, a área é a de um trapézio com bases i(0) e i(5) e altura 5.
    • Calcular i(0)=4\cdot 0+2=2\\ \mathrm{A}.
    • Calcular i(5)=4\cdot 5+2=20+2=22\\ \mathrm{A}.
    • Área (carga) Q=\dfrac{i(0)+i(5)}{2}\times(5-0)=\dfrac{2+22}{2}\cdot 5=\dfrac{24}{2}\cdot 5=12\cdot 5=60\\ \mathrm{C}.
  • Esse método confirma o resultado anterior e reforça o conceito de integral como área.

Resposta

\,60\\ \mathrm{C}

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