Problema 3 (30 pontos) Um capacitor de placas paralelas tem área A e distância d. Um outro capacitor de placas cilíndricas tem altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1}.
a) Calcule as capacitâncias nos dois casos.
b) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em série?
c) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em paralelo?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Calcular as capacitâncias de dois capacitores separados: um de placas paralelas e um cilíndrico (dados: área A e distância d para o de placas; altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1} para o cilíndrico).
(b) Calcular a capacitância equivalente quando esses dois capacitores são colocados em série.
(c) Calcular a capacitância equivalente quando esses dois capacitores são colocados em paralelo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Capacitor de placas paralelas: área das placas A, separação entre placas d.
Capacitor cilíndrico: altura h, raios interno e externo R_{1} e R_{2} (com R_{2}>R_{1}).
Não foi especificado o meio entre as placas; portanto vou manter a resposta em função da permissividade do meio \varepsilon (para vácuo/aria \varepsilon=\varepsilon_{0}). Se na prova disser explicitamente “vácuo”, substitua \varepsilon por \varepsilon_{0}.
Observações de clareza que ficam aqui (apenas identificação; não resolvo ainda):
Vou denotar C_{\text{placas}} a capacitância do capacitor de placas paralelas e C_{\text{cil}} a capacitância do capacitor cilíndrico.
Para as combinações série e paralelo usarei as fórmulas padrão de associação de capacitores: em série 1/C_{\text{eq}}=1/C_{1}+1/C_{2}; em paralelo C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}.
Passo 2
Derivação da capacitância do capacitor de placas paralelas (ideia física e fórmula passo a passo).
Conceito básico: capacitância mede a razão entre a carga armazenada Q e a diferença de potencial V entre os condutores:
C=\frac{Q}{V}.
Para placas paralelas, fazemos as hipóteses usuais de prova/exame: placas grandes com separação pequena (franjas desprezíveis) e campo elétrico uniforme entre as placas.
Densidade de carga superficial: a carga total em uma placa é Q e a área é A, então a densidade superficial de carga é
\sigma=\frac{Q}{A}.
Expliquei: \sigma tem unidade C/m^2 e diz quanto de carga por unidade de área existe na placa.
Campo elétrico entre as placas: para um par de placas muito próximas e com distribuição praticamente uniforme, o módulo do campo elétrico entre elas vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Aqui \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas (para vácuo \varepsilon_{0}). Justificativa rápida: esta é a expressão do campo gerado por uma folha de carga infinita; entre duas placas com cargas opostas o campo resultante tem magnitude \sigma/\varepsilon.
Diferença de potencial entre as placas: o potencial é integral do campo ao longo da distância d. Com E constante,
V = E\,d = \frac{\sigma}{\varepsilon}\,d = \frac{Q}{A}\frac{d}{\varepsilon}.
Expliquei: a diferença de potencial V (em volts) é a integral do campo elétrico ao longo do caminho entre placas; com E uniforme isso é E vezes d.
Capacitância: agora usamos C=Q/V. Substituindo V acima,
Significado: a capacitância cresce com a área das placas (mais área = mais carga por mesmo V) e diminui quando as placas estão mais afastadas (maior d = maior V para mesma carga).
Passo 3
Resumo didático da fórmula do item (a) para o capacitor de placas:
Fórmula final:
C_{\text{placas}}=\frac{\varepsilon A}{d}.
O que vale verificar numa prova: unidades (\varepsilon em F/m, A em m^2, d em m) dão C em farads; mencionar se \varepsilon=\varepsilon_{0} (vácuo) ou \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} (meio dielétrico com constante relativa \varepsilon_{r}).
Observação prática: citar que essa fórmula assume que d é muito menor que as dimensões das placas para desprezar bordas.
Passo 4
Derivação da capacitância do capacitor cilíndrico usando Lei de Gauss (passo a passo, física e matemática).
Configuração: dois cilindros coaxiais de comprimento/altura h, raio interno R_{1} (condutor interno) e raio externo R_{2} (condutor externo). Suponha carga +Q no cilindro interno e -Q no externo; por simetria cilíndrica o campo elétrico entre R_{1}<r<R_{2} depende só da distância radial r.
Use uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r (com R_{1}<r<R_{2}) e comprimento h. Pela Lei de Gauss:
Aqui o fluxo \Phi é E(r)\cdot(2\pi r h) porque o campo é radial e constante sobre a superfície cilíndrica, e Q_{\text{enc}}=Q (a carga no condutor interno).
Isolando E(r):
E(r)\,2\pi r h=\frac{Q}{\varepsilon}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{2\pi \varepsilon h}\cdot\frac{1}{r}.
Expliquei: a dependência 1/r é típica de simetria cilíndrica (campo diminui quando se afasta do eixo).
Diferença de potencial entre os condutores: sendo a direção do campo radial, a diferença de potencial do condutor externo (referência) ao interno é a integral radial do campo (note o sinal; vou calcular o módulo do potencial):
Interpretação: a capacitância cresce linearmente com a altura h e com \varepsilon, e decresce quando a razão R_{2}/R_{1} aumenta (mais separação radial implica menor capacitância).
Passo 5
Resumo didático da fórmula do item (a) para o capacitor cilíndrico:
Verificações úteis na prova: unidades (o logaritmo é adimensional), exigir R_{2}>R_{1}; a expressão assume comprimento h grande o bastante para desprezar efeitos nas extremidades (campo axial perto das tampas).
Passo 6
Capacitância equivalente em série (item b). Procedimento e resultado explícito.
Regra para associação em série de dois capacitores C_{1} e C_{2}:
Simplificando (colocando em forma mais compacta): note que \dfrac{1}{\varepsilon A/d}=\dfrac{d}{\varepsilon A} e \dfrac{1}{(2\pi\varepsilon h)/\ln(\dots)}=\dfrac{\ln(R_{2}/R_{1})}{2\pi\varepsilon h}. Então
Dica prática para prova: é útil deixar a expressão do tipo “uma fração sobre soma de termos” como acima para facilitar comparações e ver dependência com d, A, h, etc.
Passo 7
Capacitância equivalente em paralelo (item c). Procedimento e resultado explícito.
Regra para capacitores em paralelo:
C_{\text{eq, paralelo}}=C_{1}+C_{2}.
Aplicando C_{1}=C_{\text{placas}} e C_{2}=C_{\text{cil}}:
Dica de prova: em paralelo as capacitâncias somam diretamente porque a diferença de potencial nos dois é a mesma; em série a carga é a mesma e as diferenças de potencial se somam.
Passo 8
Observações finais, dicas de prova e verificação:
Sempre declare a hipótese sobre o meio: se for vácuo use \varepsilon=\varepsilon_{0} com \varepsilon_{0}\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}; se houver dielétrico use \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
Checagem rápida de unidades: todas as fórmulas acima resultam em farads (F). Fazer uma checagem dimensional é um bom jeito de evitar erro de sinais ou de esquecer um comprimento.
Em uma prova, escreva também as hipóteses (desprezo de bordas/franjas; comprimento h suficientemente grande) — isso mostra cuidado e evita anulações por falta de justificativa.
Motivação curta para lembrar: placas -> campo uniforme \Rightarrow C\propto A/d. Cilíndrico -> campo 1/r\Rightarrow logaritmo aparece na diferença de potencial \Rightarrow C\propto h/\ln(R_{2}/R_{1}).