Problema 3 (30 pontos) Um capacitor de placas paralelas tem área A e distância d. Um outro capacitor de placas cilíndricas tem altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1}.
  • a) Calcule as capacitâncias nos dois casos.
  • b) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em série?
  • c) Qual será a capacitância equivalente se eles forem colocados em paralelo?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular as capacitâncias de dois capacitores separados: um de placas paralelas e um cilíndrico (dados: área A e distância d para o de placas; altura h e raios R_{1} e R_{2} com R_{2}>R_{1} para o cilíndrico).
  • (b) Calcular a capacitância equivalente quando esses dois capacitores são colocados em série.
  • (c) Calcular a capacitância equivalente quando esses dois capacitores são colocados em paralelo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Capacitor de placas paralelas: área das placas A, separação entre placas d.
  • Capacitor cilíndrico: altura h, raios interno e externo R_{1} e R_{2} (com R_{2}>R_{1}).
  • Não foi especificado o meio entre as placas; portanto vou manter a resposta em função da permissividade do meio \varepsilon (para vácuo/aria \varepsilon=\varepsilon_{0}). Se na prova disser explicitamente “vácuo”, substitua \varepsilon por \varepsilon_{0}.
Observações de clareza que ficam aqui (apenas identificação; não resolvo ainda):
  • Vou denotar C_{\text{placas}} a capacitância do capacitor de placas paralelas e C_{\text{cil}} a capacitância do capacitor cilíndrico.
  • Para as combinações série e paralelo usarei as fórmulas padrão de associação de capacitores: em série 1/C_{\text{eq}}=1/C_{1}+1/C_{2}; em paralelo C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}.

Passo 2

Derivação da capacitância do capacitor de placas paralelas (ideia física e fórmula passo a passo).
Conceito básico: capacitância mede a razão entre a carga armazenada Q e a diferença de potencial V entre os condutores:
C=\frac{Q}{V}.
Para placas paralelas, fazemos as hipóteses usuais de prova/exame: placas grandes com separação pequena (franjas desprezíveis) e campo elétrico uniforme entre as placas.
  1. Densidade de carga superficial: a carga total em uma placa é Q e a área é A, então a densidade superficial de carga é
\sigma=\frac{Q}{A}.
Expliquei: \sigma tem unidade C/m ^2 e diz quanto de carga por unidade de área existe na placa.
  1. Campo elétrico entre as placas: para um par de placas muito próximas e com distribuição praticamente uniforme, o módulo do campo elétrico entre elas vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Aqui \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas (para vácuo \varepsilon_{0}). Justificativa rápida: esta é a expressão do campo gerado por uma folha de carga infinita; entre duas placas com cargas opostas o campo resultante tem magnitude \sigma/\varepsilon.
  1. Diferença de potencial entre as placas: o potencial é integral do campo ao longo da distância d. Com E constante,
V = E\,d = \frac{\sigma}{\varepsilon}\,d = \frac{Q}{A}\frac{d}{\varepsilon}.
Expliquei: a diferença de potencial V (em volts) é a integral do campo elétrico ao longo do caminho entre placas; com E uniforme isso é E vezes d.
  1. Capacitância: agora usamos C=Q/V. Substituindo V acima,
C_{\text{placas}}=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{A}\dfrac{d}{\varepsilon}}=\frac{\varepsilon A}{d}.
Significado: a capacitância cresce com a área das placas (mais área = mais carga por mesmo V) e diminui quando as placas estão mais afastadas (maior d = maior V para mesma carga).

Passo 3

Resumo didático da fórmula do item (a) para o capacitor de placas:
  • Fórmula final:
C_{\text{placas}}=\frac{\varepsilon A}{d}.
  • O que vale verificar numa prova: unidades ( \varepsilon em F/m, A em m ^2, d em m) dão C em farads; mencionar se \varepsilon=\varepsilon_{0} (vácuo) ou \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} (meio dielétrico com constante relativa \varepsilon_{r}).
  • Observação prática: citar que essa fórmula assume que d é muito menor que as dimensões das placas para desprezar bordas.

Passo 4

Derivação da capacitância do capacitor cilíndrico usando Lei de Gauss (passo a passo, física e matemática).
Configuração: dois cilindros coaxiais de comprimento/altura h, raio interno R_{1} (condutor interno) e raio externo R_{2} (condutor externo). Suponha carga +Q no cilindro interno e -Q no externo; por simetria cilíndrica o campo elétrico entre R_{1}<r<R_{2} depende só da distância radial r.
  1. Use uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r (com R_{1}<r<R_{2}) e comprimento h. Pela Lei de Gauss:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon}.
Aqui o fluxo \Phi é E(r)\cdot(2\pi r h) porque o campo é radial e constante sobre a superfície cilíndrica, e Q_{\text{enc}}=Q (a carga no condutor interno).
  1. Isolando E(r):
E(r)\,2\pi r h=\frac{Q}{\varepsilon}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{2\pi \varepsilon h}\cdot\frac{1}{r}.
Expliquei: a dependência 1/r é típica de simetria cilíndrica (campo diminui quando se afasta do eixo).
  1. Diferença de potencial entre os condutores: sendo a direção do campo radial, a diferença de potencial do condutor externo (referência) ao interno é a integral radial do campo (note o sinal; vou calcular o módulo do potencial):
V=\int_{R_{1}}^{R_{2}} E(r)\,dr=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{Q}{2\pi \varepsilon h}\cdot\frac{1}{r}\,dr.
  1. Avaliando a integral (é integral de 1/r, que dá \ln):
V=\frac{Q}{2\pi \varepsilon h}\left[\ln r\right]_{R_{1}}^{R_{2}}=\frac{Q}{2\pi \varepsilon h}\ln\!\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right).
Expliquei: \ln(R_{2}/R_{1})>0 porque R_{2}>R_{1}.
  1. Capacitância: novamente C=Q/V. Substituindo V:
C_{\text{cil}}=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon h}\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}=\frac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
Interpretação: a capacitância cresce linearmente com a altura h e com \varepsilon, e decresce quando a razão R_{2}/R_{1} aumenta (mais separação radial implica menor capacitância).

Passo 5

Resumo didático da fórmula do item (a) para o capacitor cilíndrico:
  • Fórmula final:
C_{\text{cil}}=\frac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
  • Verificações úteis na prova: unidades (o logaritmo é adimensional), exigir R_{2}>R_{1}; a expressão assume comprimento h grande o bastante para desprezar efeitos nas extremidades (campo axial perto das tampas).

Passo 6

Capacitância equivalente em série (item b). Procedimento e resultado explícito.
Regra para associação em série de dois capacitores C_{1} e C_{2}:
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.é
Aplicando C_{1}=C_{\text{placas}} e C_{2}=C_{\text{cil}} (usando as fórmulas achadas):
\frac{1}{C_{\text{s}}}=\frac{1}{\dfrac{\varepsilon A}{d}}+\frac{1}{\dfrac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}}.
Simplificando (colocando em forma mais compacta): note que \dfrac{1}{\varepsilon A/d}=\dfrac{d}{\varepsilon A} e \dfrac{1}{(2\pi\varepsilon h)/\ln(\dots)}=\dfrac{\ln(R_{2}/R_{1})}{2\pi\varepsilon h}. Então
\frac{1}{C_{\text{s}}}=\frac{d}{\varepsilon A}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}{2\pi \varepsilon h}.
Isolando C_{\text{s}} numa forma única:
C_{\text{s}}=\frac{1}{\dfrac{d}{\varepsilon A}+\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}{2\pi \varepsilon h}} =\frac{\varepsilon}{\dfrac{d}{A}+\dfrac{1}{2\pi h}\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
Dica prática para prova: é útil deixar a expressão do tipo “uma fração sobre soma de termos” como acima para facilitar comparações e ver dependência com d, A, h, etc.

Passo 7

Capacitância equivalente em paralelo (item c). Procedimento e resultado explícito.
Regra para capacitores em paralelo:
C_{\text{eq, paralelo}}=C_{1}+C_{2}.
Aplicando C_{1}=C_{\text{placas}} e C_{2}=C_{\text{cil}}:
C_{\text{p}}= \frac{\varepsilon A}{d} + \frac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
Fatorando \varepsilon (às vezes deixa mais claro):
C_{\text{p}}=\varepsilon\left(\frac{A}{d}+\frac{2\pi h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}\right).
Dica de prova: em paralelo as capacitâncias somam diretamente porque a diferença de potencial nos dois é a mesma; em série a carga é a mesma e as diferenças de potencial se somam.

Passo 8

Observações finais, dicas de prova e verificação:
  • Sempre declare a hipótese sobre o meio: se for vácuo use \varepsilon=\varepsilon_{0} com \varepsilon_{0}\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}; se houver dielétrico use \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
  • Checagem rápida de unidades: todas as fórmulas acima resultam em farads (F). Fazer uma checagem dimensional é um bom jeito de evitar erro de sinais ou de esquecer um comprimento.
  • Em uma prova, escreva também as hipóteses (desprezo de bordas/franjas; comprimento h suficientemente grande) — isso mostra cuidado e evita anulações por falta de justificativa.
  • Motivação curta para lembrar: placas -> campo uniforme \Rightarrow C\propto A/d. Cilíndrico -> campo 1/r \Rightarrow logaritmo aparece na diferença de potencial \Rightarrow C\propto h/\ln(R_{2}/R_{1}).

Resposta

(a) C_{\text{placas}}=\dfrac{\varepsilon A}{d},\qquad C_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}
(b) C_{\text{s}}=\dfrac{1}{\dfrac{d}{\varepsilon A}+\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}{2\pi \varepsilon h}}=\dfrac{\varepsilon}{\dfrac{d}{A}+\dfrac{1}{2\pi h}\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}
(c) C_{\text{p}}=\dfrac{\varepsilon A}{d}+\dfrac{2\pi \varepsilon h}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}

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