Uma barra condutora retilínea de comprimento
está imersa em uma região onde o campo magnético varia com a posição segundo
em que
e
são constantes positivas. A barra é percorrida por uma corrente elétrica constante
e está orientada perpendicularmente ao campo magnético.
Determine a força magnética total exercida sobre a barra.
Determine a força magnética total exercida sobre a barra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Uma barra condutora retilínea de comprimento
. - O campo magnético na região varia com a posição segundo
, onde e são constantes. - A barra é percorrida por uma corrente elétrica constante
. - A barra está orientada perpendicularmente ao campo magnético.
O que se pede:
- Determinar a força magnética total exercida sobre a barra (módulo e direção).
Observação para clareza: o enunciado não especifica onde está o zero da coordenada
. Para resolver precisamos escolher uma referência; farei a escolha natural de colocar uma extremidade da barra em
e a outra em
. Se a barra estiver deslocada (por exemplo de
a
), dá para generalizar — eu mostro isso depois.
Passo 2
Qual lei física usamos? A força magnética sobre um elemento de fio com corrente é dada por
onde:
-
é a corrente (escalar), -
é o vetor elemento de comprimento no sentido da corrente, -
é o campo magnético no ponto do elemento, - o produto vetorial
dá a direção e sentido da força.
Explicando o conceito do produto vetorial de forma simples: o módulo de
é
onde
é o ângulo entre
e
. A direção de
é perpendicular tanto a
quanto a
, dada pela regra da mão direita.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a barra é retilínea e está perpendicular ao campo magnético em todos os pontos. Logo o ângulo
entre
e
vale
e
. Além disso assumimos que a direção de
é a mesma em todo lugar (apenas a magnitude varia com
); assim a força sobre cada elemento tem a mesma direção (dada por
) e podemos somar os módulos por integração.
Escolho um eixo
ao longo da barra, com uma extremidade em
e outra em
. O elemento de comprimento escalar é
e o campo magnético em
tem módulo
. Então o módulo do elemento de força é
Para a direção, defino
como o vetor unitário ao longo da barra (no sentido da corrente) e
como o vetor unitário na direção do campo. O vetor diferencial de força é
Passo 4
Agora integramos ao longo da barra para obter a força total:
Como
,
e o vetor
são constantes fora da integral, podemos tirá-los para fora:
Calcule a integral:
Portanto
Passo 5
Interpretação e direção:
- O módulo da força é
- A direção é perpendicular tanto à barra quanto ao campo, no sentido dado pela regra da mão direita aplicada ao par (direção da corrente, direção do campo). Em forma vetorial compacta:
Se preferir saber apenas o sentido: ponha o polegar na direção da corrente e os dedos na direção de
; a palma empurra na direção de
.
Passo 6
Comentário sobre posição geral da barra (caso a barra não esteja em
): se a barra estivesse em
, repetir a integral dá
Ou seja, o resultado depende da posição absoluta da barra quando
, como era de esperar.
Passo 7
Cheque rápido de unidades e limites:
- Unidades:
em A, em T, em m, em m^{-1}; o produto tem unidades de N (A·T·m = N), ok. - Se
(campo uniforme), recupera-se , que é o resultado conhecido para uma barra retilínea totalmente perpendicular a um campo uniforme.
Força final pronta — você conseguiu! Calma que a conta é só essa integral básica; na prova, escreva direito o argumento do produto vetorial e a integral que fizemos.