Uma barra condutora retilínea de comprimento L está imersa em uma região onde o campo magnético varia com a posição segundo
B(x)=B_{0}(1+\alpha x),
em que B_{0} e \alpha são constantes positivas. A barra é percorrida por uma corrente elétrica constante I e está orientada perpendicularmente ao campo magnético.
Determine a força magnética total exercida sobre a barra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma barra condutora retilínea de comprimento \,L\,.
  • O campo magnético na região varia com a posição segundo \,B(x)=B_{0}(1+\alpha x)\,, onde \,B_{0}>0\, e \,\alpha>0\, são constantes.
  • A barra é percorrida por uma corrente elétrica constante \,I\,.
  • A barra está orientada perpendicularmente ao campo magnético.
O que se pede:
  • Determinar a força magnética total exercida sobre a barra (módulo e direção).
Observação para clareza: o enunciado não especifica onde está o zero da coordenada x. Para resolver precisamos escolher uma referência; farei a escolha natural de colocar uma extremidade da barra em x=0 e a outra em x=L. Se a barra estiver deslocada (por exemplo de x=a a x=a+L), dá para generalizar — eu mostro isso depois.

Passo 2

Qual lei física usamos? A força magnética sobre um elemento de fio com corrente é dada por
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B},
onde:
  • \,I\, é a corrente (escalar),
  • \,d\vec{\ell}\, é o vetor elemento de comprimento no sentido da corrente,
  • \,\vec{B}\, é o campo magnético no ponto do elemento,
  • o produto vetorial \times dá a direção e sentido da força.
Explicando o conceito do produto vetorial de forma simples: o módulo de d\vec{F} é
|d\vec{F}| = I\,|d\vec{\ell}|\,|\vec{B}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre d\vec{\ell} e \vec{B}. A direção de d\vec{F} é perpendicular tanto a d\vec{\ell} quanto a \vec{B}, dada pela regra da mão direita.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a barra é retilínea e está perpendicular ao campo magnético em todos os pontos. Logo o ângulo \theta entre d\vec{\ell} e \vec{B} vale \,90^\circ\, e \sin\theta=1. Além disso assumimos que a direção de \vec{B} é a mesma em todo lugar (apenas a magnitude varia com x); assim a força sobre cada elemento tem a mesma direção (dada por \hat{\ell}\times\hat{B}) e podemos somar os módulos por integração.
Escolho um eixo x ao longo da barra, com uma extremidade em x=0 e outra em x=L. O elemento de comprimento escalar é d\ell=dx e o campo magnético em x tem módulo B(x)=B_{0}(1+\alpha x). Então o módulo do elemento de força é
dF = I\,B(x)\,dx = I\,B_{0}(1+\alpha x)\,dx.
Para a direção, defino \hat{\ell} como o vetor unitário ao longo da barra (no sentido da corrente) e \hat{B} como o vetor unitário na direção do campo. O vetor diferencial de força é
d\vec{F}=I\,B_{0}(1+\alpha x)\,dx\;(\hat{\ell}\times\hat{B}).

Passo 4

Agora integramos ao longo da barra para obter a força total:
\vec{F}=\int_{0}^{L} d\vec{F} =\int_{0}^{L} I\,B_{0}(1+\alpha x)\,dx\;(\hat{\ell}\times\hat{B}).
Como I, B_{0} e o vetor \hat{\ell}\times\hat{B} são constantes fora da integral, podemos tirá-los para fora:
\vec{F}=I\,B_{0}\,(\hat{\ell}\times\hat{B})\int_{0}^{L} (1+\alpha x)\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{L} (1+\alpha x)\,dx = \left[x + \frac{\alpha x^{2}}{2}\right]_{0}^{L} = L + \frac{\alpha L^{2}}{2}.
Portanto
\vec{F}=I\,B_{0}\left(L+\frac{\alpha L^{2}}{2}\right)\;(\hat{\ell}\times\hat{B}).

Passo 5

Interpretação e direção:
  • O módulo da força é
F = I\,B_{0}\left(L+\frac{\alpha L^{2}}{2}\right).
  • A direção é perpendicular tanto à barra quanto ao campo, no sentido dado pela regra da mão direita aplicada ao par (direção da corrente, direção do campo). Em forma vetorial compacta:
\vec{F}=I\,B_{0}\left(L+\frac{\alpha L^{2}}{2}\right)\;(\hat{\ell}\times\hat{B}).
Se preferir saber apenas o sentido: ponha o polegar na direção da corrente e os dedos na direção de \vec{B}; a palma empurra na direção de \vec{F}.

Passo 6

Comentário sobre posição geral da barra (caso a barra não esteja em x\in[0,L]): se a barra estivesse em x\in[a,a+L], repetir a integral dá
\vec{F}=I\,B_{0}\left(L+\alpha a L + \frac{\alpha L^{2}}{2}\right)\;(\hat{\ell}\times\hat{B}) =I\,B_{0}L\left(1+\alpha a+\frac{\alpha L}{2}\right)\;(\hat{\ell}\times\hat{B}).
Ou seja, o resultado depende da posição absoluta da barra quando \alpha\neq0, como era de esperar.

Passo 7

Cheque rápido de unidades e limites:
  • Unidades: I em A, B_{0} em T, L em m, \alpha em m^{-1}; o produto tem unidades de N (A·T·m = N), ok.
  • Se \alpha=0 (campo uniforme), recupera-se F=I B_{0} L, que é o resultado conhecido para uma barra retilínea totalmente perpendicular a um campo uniforme.
Força final pronta — você conseguiu! Calma que a conta é só essa integral básica; na prova, escreva direito o argumento do produto vetorial e a integral que fizemos.

Resposta

\displaystyle \vec{F}=I\,B_{0}\left(L+\frac{\alpha L^{2}}{2}\right)\;(\hat{\ell}\times\hat{B})

Exercícios relacionados