- A corrente elétrica é definida como a taxa de variação da carga em um instante de tempo. Em funções temporais, a corrente é definida como a derivada primeira da carga, no tempo. Se a corrente que flui em um condutor é
, para qualquer
, determine a carga que atravessa esse condutor e assinale a alternativa correta:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
E.
.
Passo 1
O enunciado dá a corrente elétrica em função do tempo e pede a carga que atravessa o condutor, escolhendo a alternativa correta. Informações fornecidas:
- A corrente é
para qualquer . - Sabemos que corrente é a taxa de variação da carga:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a expressão da carga
(ou seja, encontrar uma primitiva de ) e selecionar a alternativa certa entre A, B, C, D ou E.
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
- Se
, então para achar precisamos integrar em relação a . A integração é a operação inversa da derivação: encontrar uma função cuja derivada é a dada.
- Regra útil: para qualquer constante
,
onde
é a constante de integração (porque derivando uma constante dá zero, então a primitiva não é única).
- No nosso caso temos uma constante multiplicativa
e , então aplicaremos essa regra com cuidado.
Passo 3
Calcular explicitamente a primitiva de
:
- Escrevemos a integral indefinida:
- Factorizamos a constante
para fora da integral:
- Aplicando a fórmula
com , obtemos
- Multiplicando por
:
onde
é outra constante de integração (a constante genérica).
Passo 4
Interpretação física da constante de integração e relação com as alternativas:
- Resultado geral da integração:
com
arbitrária (pois qualquer constante tem derivada zero e não muda
).
- As alternativas fornecidas no enunciado apresentam expressões sem soma de constante. Portanto, para comparar com as alternativas devemos considerar a primitiva escolhida com
(isto é, a primitiva particular sem constante).
- Tomando
temos a primitiva particular
Passo 5
Verificação rápida que a primitiva particular está correta (checagem):
- Diferenciando
obtemos
que é exatamente a corrente dada. Logo essa primitiva é válida (apenas falta a constante arbitrária).
Passo 6
Escolha da alternativa entre as opções dadas:
- A primitiva particular encontrada é
, que corresponde à alternativa D.
- Observação final de didática: se o enunciado desse uma condição inicial (por exemplo
ou ), poderíamos determinar e obter uma expressão diferente; mas, como as alternativas não incluem constante, escolhemos a primitiva com .
Resposta
D.