1. A corrente elétrica é definida como a taxa de variação da carga em um instante de tempo. Em funções temporais, a corrente é definida como a derivada primeira da carga, no tempo. Se a corrente que flui em um condutor é 20 \mathrm{e}^{-4 \mathrm{t}} \mathrm{A}, para qualquer \mathrm{t}>0, determine a carga que atravessa esse condutor e assinale a alternativa correta:
    \bigcirc A. 20 e^{-4 t} C.
    \bigcirc B. -20 e^{-4 t} \mathrm{C}.
    \bigcirc C. 5 e^{-4 t} C.
    \bigcirc D. -5 e^{-4 t} C.
    \bigcirc E. 4 e^{-4 t} C.

Passo 1

O enunciado dá a corrente elétrica em função do tempo e pede a carga que atravessa o condutor, escolhendo a alternativa correta. Informações fornecidas:
  • A corrente é \;i(t)=20\,\mathrm{e}^{-4t}\;\mathrm{A} para qualquer \;t>0.
  • Sabemos que corrente é a taxa de variação da carga: \;i(t)=\dfrac{dq}{dt}.

    O que o enunciado pede:
  • Determinar a expressão da carga q(t) (ou seja, encontrar uma primitiva de i(t)) e selecionar a alternativa certa entre A, B, C, D ou E.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Se \;i(t)=\dfrac{dq}{dt}, então para achar q(t) precisamos integrar i(t) em relação a t. A integração é a operação inversa da derivação: encontrar uma função cuja derivada é a dada.
  • Regra útil: para qualquer constante a\neq0,
\int \mathrm{e}^{a t}\,dt = \frac{1}{a}\,\mathrm{e}^{a t} + C,
onde C é a constante de integração (porque derivando uma constante dá zero, então a primitiva não é única).
  • No nosso caso temos uma constante multiplicativa 20 e a=-4, então aplicaremos essa regra com cuidado.

Passo 3

Calcular explicitamente a primitiva de \;i(t)=20\,\mathrm{e}^{-4t}:
  • Escrevemos a integral indefinida:
q(t)=\int i(t)\,dt=\int 20\,\mathrm{e}^{-4t}\,dt.
  • Factorizamos a constante 20 para fora da integral:
q(t)=20\int \mathrm{e}^{-4t}\,dt.
  • Aplicando a fórmula \int \mathrm{e}^{a t}\,dt=\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{a t}+C com a=-4, obtemos
\int \mathrm{e}^{-4t}\,dt=\frac{1}{-4}\,\mathrm{e}^{-4t}+C=-\tfrac{1}{4}\,\mathrm{e}^{-4t}+C.
  • Multiplicando por 20:
q(t)=20\left(-\tfrac{1}{4}\,\mathrm{e}^{-4t}+C\right)=-5\,\mathrm{e}^{-4t}+C',
onde C'=20C é outra constante de integração (a constante genérica).

Passo 4

Interpretação física da constante de integração e relação com as alternativas:
  • Resultado geral da integração:
q(t) = -5\,\mathrm{e}^{-4t} + C',
com C' arbitrária (pois qualquer constante tem derivada zero e não muda i(t)).
  • As alternativas fornecidas no enunciado apresentam expressões sem soma de constante. Portanto, para comparar com as alternativas devemos considerar a primitiva escolhida com C'=0 (isto é, a primitiva particular sem constante).
  • Tomando C'=0 temos a primitiva particular
q(t) = -5\,\mathrm{e}^{-4t}\;\mathrm{C}.

Passo 5

Verificação rápida que a primitiva particular está correta (checagem):
  • Diferenciando q(t)=-5\,\mathrm{e}^{-4t} obtemos
\frac{dq}{dt} = -5\cdot(-4)\,\mathrm{e}^{-4t}=20\,\mathrm{e}^{-4t},
que é exatamente a corrente dada. Logo essa primitiva é válida (apenas falta a constante arbitrária).

Passo 6

Escolha da alternativa entre as opções dadas:
  • A primitiva particular encontrada é -5\,\mathrm{e}^{-4t}\,\mathrm{C}, que corresponde à alternativa D.
  • Observação final de didática: se o enunciado desse uma condição inicial (por exemplo q(0)=0 ou q(\infty)=0), poderíamos determinar C' e obter uma expressão diferente; mas, como as alternativas não incluem constante, escolhemos a primitiva com C'=0.

Resposta

D. -5\,\mathrm{e}^{-4t}\,\mathrm{C}

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