1. A força elétrica e, por consequência, o campo elétrico, na presença de mais cargas elétricas, admitem o principio da superposiçăo. Esse principio define que o valor final, da força ou do campo elétrico, é a soma vetorial dos resultados produzidos pelas diferentes cargas de maneira individual.
    Considere duas cargas elétricas, A e B , de intensidade -3 \mu \mathrm{C} e 4 \mu \mathrm{C}, posicionadas, respectivamente, na origem e no ponto ( 3,4,-5 ). Determine o vetor campo elétrico e sua intensidade em um ponto \mathrm{P}(0,2, 5) em coordenadas cartesianas. Dado: utilize a constante eletrostática \mathrm{k}=9.10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o vetor campo elétrico e a sua intensidade (módulo) no ponto P(0,2,5) devido a duas cargas pontuais A e B.\n
Informações dadas e relevantes:
q_A = -3\\ \mu\mathrm{C}=-3\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_B = 4\\ \mu\mathrm{C}=4\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C},
A posição de A é a origem (0,0,0) e a posição de B é (3,4,-5). O ponto onde queremos o campo é P(0,2,5). A constante eletrostática é
k=9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
O principio da superposição diz que o campo total em P é a soma vetorial dos campos gerados por A e por B:
\vec{E}(\!P\!)=\vec{E}_A(\!P\!)+\vec{E}_B(\!P\!).

Passo 2

Fórmula vetorial do campo elétrico produzido por uma carga pontual q localizada em \vec{r}_q, no ponto \vec{r}:
\vec{E}(\vec{r}) = k\,q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_q}{\|\vec{r}-\vec{r}_q\|^{3}}.
Explicando a fórmula: \vec{r}-\vec{r}_q é o vetor que vai da carga até o ponto de interesse; \|\vec{r}-\vec{r}_q\| é o comprimento (distância) desse vetor; dividir por \|\cdot\|^{3} garante que estamos usando a direção correta (vetor) e a dependência em 1/r^{2} para o módulo do campo. Em palavras: primeiro formamos o vetor posição relativo, depois normalizamos para obter a direção e multiplicamos pelo módulo kq/r^{2} — a mesma expressão aparece combinada como kq(\vec{r}-\vec{r}_q)/r^{3}.

Passo 3

Calcular o vetor \vec{r}_A (do ponto onde está A até P) e sua norma.
\vec{r}_A = \vec{r}_P-\vec{r}_A = (0-0,\;2-0,\;5-0)=(0,\,2,\,5).
A distância r_A=\|\vec{r}_A\| é
r_A=\sqrt{0^{2}+2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Observação: \sqrt{29} é aproximadamente 5,385.

Passo 4

Usar a fórmula para \vec{E}_A. Substituindo:
\vec{E}_A = k\,q_A\,\frac{\vec{r}_A}{r_A^{3}}.
Escrevendo explicitamente com os valores (aqui faço a conversão \mu\mathrm{C}\to\mathrm{C}):
\vec{E}_A = 9\cdot10^{9}\cdot(-3\cdot10^{-6})\;\frac{(0,\,2,\,5)}{(\sqrt{29})^{3}}.
Calculemos o fator escalar:
9\cdot10^{9}\cdot(-3\cdot10^{-6}) = -27\cdot10^{3} = -27000.
E r_A^{3}=(\sqrt{29})^{3}=29\sqrt{29}. Assim o fator é
s_A = \frac{-27000}{29\sqrt{29}}.
Aproximando numericamente \sqrt{29}\approx5,3851648, obtemos
s_A \approx -172,9276\\ \mathrm{(N/C)\\ per\\ unit\\ of\\ vector\\ component}.
Multiplicando pelos componentes de \vec{r}_A:
\vec{E}_A \approx \bigl(0,\;-345,8551,\;-864,6378\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Calcular o vetor \vec{r}_B (do ponto onde está B até P) e sua norma.
\vec{r}_B = \vec{r}_P-\vec{r}_B = (0-3,\;2-4,\;5-(-5)) = (-3,\,-2,\;10).
A distância r_B=\|\vec{r}_B\| é
r_B=\sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}+10^{2}}=\sqrt{9+4+100}=\sqrt{113}.
Observação: \sqrt{113} é aproximadamente 10,6301458.

Passo 6

Usar a fórmula para \vec{E}_B:
\vec{E}_B = k\,q_B\,\frac{\vec{r}_B}{r_B^{3}}.
Substituindo valores:
\vec{E}_B = 9\cdot10^{9}\cdot(4\cdot10^{-6})\;\frac{(-3,\,-2,\,10)}{(\sqrt{113})^{3}}.
Calculemos o fator escalar:
9\cdot10^{9}\cdot(4\cdot10^{-6}) = 36\cdot10^{3} = 36000.
E r_B^{3}=(\sqrt{113})^{3}=113\sqrt{113}. Assim o fator é
s_B = \frac{36000}{113\sqrt{113}}.
Aproximando numericamente \sqrt{113}\approx10,6301458, obtemos
s_B \approx 29,9579.
Multiplicando pelos componentes de \vec{r}_B:
\vec{E}_B \approx \bigl(-89,8737,\;-59,9158,\;299,5790\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Somar vetorialmente \vec{E}_A e \vec{E}_B componente a componente para obter o campo total em P:
\vec{E}=\vec{E}_A+\vec{E}_B.
Componentes:
E_x = 0 + (-89,8737) = -89,8737,
E_y = -345,8551 + (-59,9158) = -405,7709,
E_z = -864,6378 + 299,5790 = -565,0588.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em física experimental/provas):
\vec{E}(0,2,5)\approx\bigl(-89,87,\,-405,77,\,-565,06\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Calcular a intensidade (módulo) do vetor campo resultante usando
\|\vec{E}\|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}+E_z^{2}}.
Substituindo os valores aproximados:
\|\vec{E}\|\approx\sqrt{(-89,8737)^{2}+(-405,7709)^{2}+(-565,0588)^{2}}\approx\sqrt{492018,7}\approx701,44\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

Resumo e dica para a prova: a estratégia é sempre a mesma para cargas pontuais — forme os vetores \vec{r} do ponto da carga até o ponto onde quer o campo, calcule as normas, aplique \vec{E}=kq\vec{r}/r^{3} para cada carga e some vetorialmente. Se pedir direção ou ângulo, normaliza \vec{E} ou calcule as componentes trigonométricas. Vai dar certo — você consegue!

Resposta

\vec{E}(0,2,5)\approx\bigl(-89,87,\,-405,77,\,-565,06\bigr)\\ \mathrm{N/C}\n
\|\vec{E}(0,2,5)\|\approx701,44\\ \mathrm{N/C}

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