Uma corrente I ao longo da direção positiva do eixo z percorre o condutor interno de um cabo coaxial e retorna através do condutor externo. O condutor interno tem um raio a e os raios internos e externos do condutor externo são b e c, respectivamente.
a. Determine o campo magnético em cada uma das seguintes regiões: 0 \leq r \leq a, a \leq r \leq b, b \leq r \leq c e r \geq c.
b. Faça um gráfico do módulo de \vec{H} como uma função de r ao longo da faixa desde r=0 até r=10 \mathrm{~cm}, dado que I=10 A, a=2 \mathrm{~cm}, b= 4 c m e c=5 c m.
Passo 1
O enunciado dá um cabo coaxial com corrente total I que vai pela direção positiva de z no condutor interno e retorna pelo condutor externo. Os raios são: condutor interno de raio a; condutor externo com raio interno b e raio externo c. O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar o campo magnético em cada região radial: 0 \le r \le a, a \le r \le b, b \le r \le c e r \ge c.
(b) Fazer um gráfico do módulo de \vec{H} como função de r de r=0 até r=10\:\mathrm{cm}, para os valores \;I=10\:\mathrm{A},\; a=2\:\mathrm{cm},\; b=4\:\mathrm{cm},\; c=5\:\mathrm{cm}.
Informações importantes e suposições (relevantes para resolver):
Vou assumir que as correntes estão distribuídas uniformemente sobre as seções transversais dos condutores (condutor interno com densidade de corrente uniforme no disco r\le a; condutor externo com densidade uniforme na casca b\le r\le c). Essa é a hipótese padrão quando nada é especificado.
Trabalhamos no espaço livre ao redor (não há materiais magnéticos), então usamos diretamente \vec{H} obtido pela Lei de Ampère para correntes livres.
A simetria cilíndrica implica que \vec{H} é tangencial (direção \hat{\varphi}) e depende só de r.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: Lei de Ampère (na forma para \vec{H}).
A Lei de Ampère diz que, num contorno fechado \mathcal{C},
onde I_{\text{enc}} é a corrente livre total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}.
Por simetria cilíndrica, escolhemos um círculo de raio r centrado no eixo z. Nesse caso \vec{H} é tangencial e de módulo H_\varphi(r) constante ao longo da circunferência. Assim
Ou seja: para achar \vec{H} precisamos calcular a corrente total contida na circunferência de raio r, I_{\text{enc}}(r). A direção de \vec{H} é \hat{\varphi} (circunferencial) dada a regra da mão direita com a corrente positiva para +z.
Passo 3
Região 0 \le r \le a (dentro do fio interno maciço).
Dado que a corrente total no condutor interno é I distribuída uniformemente no disco de raio a, a densidade de corrente (magnitude) é
J_{\text{int}}=\frac{I}{\pi a^{2}}.
A corrente contida num círculo de raio r\le a é a densidade vezes a área do disco de raio r:
Portanto, dentro do condutor interno o módulo de \vec{H} cresce linearmente com r. Observação: em r=0 temos H=0, comportamento físico esperado.
Passo 4
Região a \le r \le b (espaço entre condutor interno e o interior do condutor externo; aqui ainda não “pegamos” corrente do condutor externo).
Para r nesta faixa, a circunferência de raio r envolve toda a corrente I do condutor interno, e não intercepta ainda o condutor externo (que começa em b). Então
I_{\text{enc}}(r)=I.
Logo, pela Lei de Ampère,
H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r}.
Isto é, fora do fio interno e antes do condutor externo, |\vec{H}| decai como 1/r.
Passo 5
Região b \le r \le c (dentro da espessura do condutor externo, onde está retornando a corrente).
O condutor externo carrega corrente -I (retorno) distribuída uniformemente na casca entre b e c. A área da seção transversal da casca é
A_{\text{ext}}=\pi\left(c^{2}-b^{2}\right).
A densidade de corrente na casca é então (observe o sinal negativo por ser corrente de retorno)
Com esses pontos conseguimos traçar o gráfico de |\vec{H}| vs r:
Começa em 0 em r=0, sobe linearmente até cerca de 79{,}6\:\mathrm{A/m} em r=2\:\mathrm{cm}.
Depois decai como 1/r até r=4\:\mathrm{cm} (valor \approx 39{,}8\:\mathrm{A/m}).
Na casca 4\:\mathrm{cm} a 5\:\mathrm{cm} decai para zero em 5\:\mathrm{cm}.
Para r>5\:\mathrm{cm} o campo é zero.
Dica prática para o desenho: em papel plotar os pontos acima e ligar suavemente (reta dentro do condutor interno; hipérbole \sim 1/r entre a e b; curva que vai a zero entre b e c; zero depois de c).
Pontos úteis para o desenho: H(0)=0, H(0{,}01)\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}, H(0{,}02)\approx 79{,}58\:\mathrm{A/m}, H(0{,}03)\approx 53{,}05\:\mathrm{A/m}, H(0{,}04)\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}, H(0{,}045)\approx 18{,}66\:\mathrm{A/m}, H(0{,}05)=0, e H(0{,}10)=0.]