Uma corrente I ao longo da direção positiva do eixo z percorre o condutor interno de um cabo coaxial e retorna através do condutor externo. O condutor interno tem um raio a e os raios internos e externos do condutor externo são b e c, respectivamente.
a. Determine o campo magnético em cada uma das seguintes regiões: 0 \leq r \leq a, a \leq r \leq b, b \leq r \leq c e r \geq c.
b. Faça um gráfico do módulo de \vec{H} como uma função de r ao longo da faixa desde r=0 até r=10 \mathrm{~cm}, dado que I=10 A, a=2 \mathrm{~cm}, b= 4 c m e c=5 c m.

Passo 1

O enunciado dá um cabo coaxial com corrente total I que vai pela direção positiva de z no condutor interno e retorna pelo condutor externo. Os raios são: condutor interno de raio a; condutor externo com raio interno b e raio externo c. O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o campo magnético em cada região radial: 0 \le r \le a, a \le r \le b, b \le r \le c e r \ge c.
  2. (b) Fazer um gráfico do módulo de \vec{H} como função de r de r=0 até r=10\:\mathrm{cm}, para os valores \;I=10\:\mathrm{A},\; a=2\:\mathrm{cm},\; b=4\:\mathrm{cm},\; c=5\:\mathrm{cm}.
Informações importantes e suposições (relevantes para resolver):
  • Vou assumir que as correntes estão distribuídas uniformemente sobre as seções transversais dos condutores (condutor interno com densidade de corrente uniforme no disco r\le a; condutor externo com densidade uniforme na casca b\le r\le c). Essa é a hipótese padrão quando nada é especificado.
  • Trabalhamos no espaço livre ao redor (não há materiais magnéticos), então usamos diretamente \vec{H} obtido pela Lei de Ampère para correntes livres.
  • A simetria cilíndrica implica que \vec{H} é tangencial (direção \hat{\varphi}) e depende só de r.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: Lei de Ampère (na forma para \vec{H}).
A Lei de Ampère diz que, num contorno fechado \mathcal{C},
\oint_{\mathcal{C}} \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente livre total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}.
Por simetria cilíndrica, escolhemos um círculo de raio r centrado no eixo z. Nesse caso \vec{H} é tangencial e de módulo H_\varphi(r) constante ao longo da circunferência. Assim
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = H_\varphi(r)\cdot (2\pi r).
Logo
H_\varphi(r)=\frac{I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}.
Ou seja: para achar \vec{H} precisamos calcular a corrente total contida na circunferência de raio r, I_{\text{enc}}(r). A direção de \vec{H} é \hat{\varphi} (circunferencial) dada a regra da mão direita com a corrente positiva para +z.

Passo 3

Região 0 \le r \le a (dentro do fio interno maciço).
Dado que a corrente total no condutor interno é I distribuída uniformemente no disco de raio a, a densidade de corrente (magnitude) é
J_{\text{int}}=\frac{I}{\pi a^{2}}.
A corrente contida num círculo de raio r\le a é a densidade vezes a área do disco de raio r:
I_{\text{enc}}(r)=J_{\text{int}}\cdot \pi r^{2}=\frac{I}{\pi a^{2}}\cdot \pi r^{2}=I\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Aplicando a fórmula de Ampère:
H_\varphi(r)=\frac{I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}=\frac{I\,r^{2}/a^{2}}{2\pi r}=\frac{I\,r}{2\pi a^{2}}.
Portanto, dentro do condutor interno o módulo de \vec{H} cresce linearmente com r. Observação: em r=0 temos H=0, comportamento físico esperado.

Passo 4

Região a \le r \le b (espaço entre condutor interno e o interior do condutor externo; aqui ainda não “pegamos” corrente do condutor externo).
Para r nesta faixa, a circunferência de raio r envolve toda a corrente I do condutor interno, e não intercepta ainda o condutor externo (que começa em b). Então
I_{\text{enc}}(r)=I.
Logo, pela Lei de Ampère,
H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r}.
Isto é, fora do fio interno e antes do condutor externo, |\vec{H}| decai como 1/r.

Passo 5

Região b \le r \le c (dentro da espessura do condutor externo, onde está retornando a corrente).
O condutor externo carrega corrente -I (retorno) distribuída uniformemente na casca entre b e c. A área da seção transversal da casca é
A_{\text{ext}}=\pi\left(c^{2}-b^{2}\right).
A densidade de corrente na casca é então (observe o sinal negativo por ser corrente de retorno)
J_{\text{ext}} = -\frac{I}{\pi\left(c^{2}-b^{2}\right)}.
A corrente proveniente da casca presente entre b e um raio r com b\le r\le c é
I_{\text{casca}}(r)=J_{\text{ext}}\cdot \pi\left(r^{2}-b^{2}\right) = -I\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
Então a corrente total envolvida pela circunferência de raio r é a soma da corrente do fio interno I mais a parcela da casca até r:
I_{\text{enc}}(r)=I + I_{\text{casca}}(r) = I - I\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}} = I\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
Aplicando Ampère:
H_\varphi(r)=\frac{I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}=\frac{I}{2\pi r}\cdot\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}.
Esse resultado mostra que, à medida que avançamos pela casca do condutor externo, a corrente líquida envolvida vai diminuindo até zerar em r=c.

Passo 6

Região r \ge c (fora do cabo coaxial).
Para r maior ou igual a c a circunferência envolve toda a corrente do condutor interno I e toda a corrente de retorno -I do condutor externo. Ou seja,
I_{\text{enc}}(r)=I + (-I)=0.
Portanto, pela Lei de Ampère,
H_\varphi(r)=0\qquad (r\ge c).
Isto significa que fora do cabo o campo magnético resultante é nulo — um resultado esperado para um cabo coaxial com correntes iguais e opostas.

Passo 7

Resumo qualitativo do comportamento para ajudar a desenhar o gráfico (parte didática/para a prova):
  • De r=0 até r=a: H aumenta linearmente (proporcional a r).
  • Em r=a as expressões interna e externa coincidem (continuidade): o valor é \;H(a)=\dfrac{I}{2\pi a}.
  • De r=a até r=b: H decai como 1/r.
  • De r=b até r=c: H diminui mais rapidamente segundo a expressão com o fator (c^{2}-r^{2})/(c^{2}-b^{2}), atingindo zero em r=c.
  • Para r\ge c: H=0.

Passo 8

Parte (b): substituir números e calcular pontos chave para desenhar o gráfico de |\vec{H}| vs r.
Dados: \;I=10\:\mathrm{A},\; a=2\:\mathrm{cm}=0{,}02\:\mathrm{m},\; b=4\:\mathrm{cm}=0{,}04\:\mathrm{m},\; c=5\:\mathrm{cm}=0{,}05\:\mathrm{m}.
As expressões numéricas por regiões ficam:
  • Para 0\le r\le a:
H(r)=\frac{I\,r}{2\pi a^{2}}=\frac{10\,r}{2\pi(0{,}02)^{2}}=\frac{10\,r}{2\pi\cdot 0{,}0004}=\frac{10\,r}{0{,}00251327}\quad(\mathrm{A/m}).
  • Para a\le r\le b:
H(r)=\frac{I}{2\pi r}=\frac{10}{2\pi r}=\frac{10}{6{,}283185\; r}\quad(\mathrm{A/m}).
  • Para b\le r\le c:
H(r)=\frac{10}{2\pi r}\cdot\frac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}} =\frac{10}{2\pi r}\cdot\frac{(0{,}05)^{2}-r^{2}}{(0{,}05)^{2}-(0{,}04)^{2}} =\frac{10}{2\pi r}\cdot\frac{0{,}0025-r^{2}}{0{,}0009}.
  • Para r\ge c:
H(r)=0.
Calculemos pontos úteis (valores aproximados, com 3 casas significativas):
  • r=0: H=0.
  • r=1\:\mathrm{cm}=0{,}01\:\mathrm{m} (dentro do condutor interno):
H(0{,}01)=\frac{10\cdot 0{,}01}{0{,}00251327}\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}.
  • r=a=0{,}02\:\mathrm{m}:
H(a)=\frac{10}{2\pi\cdot 0{,}02}\approx 79{,}58\:\mathrm{A/m}.
  • r=3\:\mathrm{cm}=0{,}03\:\mathrm{m} (entre a e b):
H(0{,}03)=\frac{10}{2\pi\cdot 0{,}03}\approx 53{,}05\:\mathrm{A/m}.
  • r=b=0{,}04\:\mathrm{m}:
H(b)=\frac{10}{2\pi\cdot 0{,}04}\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}.
  • r=4{,}5\:\mathrm{cm}=0{,}045\:\mathrm{m} (entre b e c):
H(0{,}045)=\frac{10}{2\pi\cdot 0{,}045}\cdot\frac{0{,}0025-(0{,}045)^{2}}{0{,}0009} =\frac{10}{0{,}282743}}\cdot\frac{0{,}0025-0{,}002025}{0{,}0009} \approx 35{,}37\cdot 0{,}52778 \approx 18{,}66\:\mathrm{A/m}.
  • r=c=0{,}05\:\mathrm{m}: H\text{(c)}=0.
  • r=10\:\mathrm{cm}=0{,}10\:\mathrm{m}: H=0 (pois r\ge c).
Com esses pontos conseguimos traçar o gráfico de |\vec{H}| vs r:
  • Começa em 0 em r=0, sobe linearmente até cerca de 79{,}6\:\mathrm{A/m} em r=2\:\mathrm{cm}.
  • Depois decai como 1/r até r=4\:\mathrm{cm} (valor \approx 39{,}8\:\mathrm{A/m}).
  • Na casca 4\:\mathrm{cm} a 5\:\mathrm{cm} decai para zero em 5\:\mathrm{cm}.
  • Para r>5\:\mathrm{cm} o campo é zero.
Dica prática para o desenho: em papel plotar os pontos acima e ligar suavemente (reta dentro do condutor interno; hipérbole \sim 1/r entre a e b; curva que vai a zero entre b e c; zero depois de c).

Resposta

a.
\vec{H}(r)= \begin{cases} \dfrac{I\,r}{2\pi a^{2}}\;\hat{\varphi}, & 0\le r\le a,\\[6pt] \dfrac{I}{2\pi r}\;\hat{\varphi}, & a\le r\le b,\\[6pt] \dfrac{I}{2\pi r}\cdot\dfrac{c^{2}-r^{2}}{c^{2}-b^{2}}\;\hat{\varphi}, & b\le r\le c,\\[6pt] \;0, & r\ge c. \end{cases}
b.
\text{Com }I=10\:\mathrm{A},\\ a=0{,}02\:\mathrm{m},\\ b=0{,}04\:\mathrm{m},\\ c=0{,}05\:\mathrm{m}:
H(r)= \begin{cases} \dfrac{10\,r}{2\pi(0{,}02)^{2}}\:\mathrm{A/m}, & 0\le r\le 0{,}02,\\[6pt] \dfrac{10}{2\pi r}\:\mathrm{A/m}, & 0{,}02\le r\le 0{,}04,\\[6pt] \dfrac{10}{2\pi r}\cdot\dfrac{0{,}0025-r^{2}}{0{,}0009}\:\mathrm{A/m}, & 0{,}04\le r\le 0{,}05,\\[6pt] 0, & r\ge 0{,}05. \end{cases}
Pontos úteis para o desenho: H(0)=0, H(0{,}01)\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}, H(0{,}02)\approx 79{,}58\:\mathrm{A/m}, H(0{,}03)\approx 53{,}05\:\mathrm{A/m}, H(0{,}04)\approx 39{,}79\:\mathrm{A/m}, H(0{,}045)\approx 18{,}66\:\mathrm{A/m}, H(0{,}05)=0, e H(0{,}10)=0.]

Exercícios relacionados