Um bloco 1, de massa ml e velocidade 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que desliza ao longo de um eixo x sobre um piso sem atrito, sofre uma colisão elástica com um bloco 2 de massa m_{2}=0,4. m_{1} inicialmente, em repouso. Os dois blocos deslizam para uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,50 , onde acabam parando. Qual a distância dentro desta região o bloco 2 percorre? (Exercício 64 Cap 9 Halliday ed. 8 Vol. 1)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Um bloco 1 tem massa m_{1} e velocidade inicial \,4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Um bloco 2 tem massa m_{2}=0{,}4\,m_{1} e está inicialmente em repouso.
  • Os dois blocos colidem elasticamente (colisão perfeitamente elástica).
  • Após a colisão ambos entram numa região onde o coeficiente de atrito cinético é \mu_{k}=0{,}50 e acabam parando nessa região.
  • Pergunta: qual a distância que o bloco 2 percorre dentro dessa região até parar?
Informações numéricas principais: u_1=4{,}0\\ \mathrm{m/s}, u_2=0, m_2=0{,}4\,m_1, \mu_k=0{,}50, e assumimos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Entendimento do que vamos usar (sem resolver ainda): na colisão elástica, aplicamos conservação da quantidade de movimento (momentum) e conservação da energia cinética. Escrevemos as equações para as velocidades finais v_1 e v_2 (após a colisão). Depois, para o movimento na região com atrito, usamos o princípio energia-trabalho: a energia cinética do bloco 2 após a colisão é dissipada pelo trabalho da força de atrito até que ele pare.
Agora escrevemos as equações formais que exprimem essas ideias.

Passo 3

Conservação da quantidade de movimento (momentum) para a colisão unidimensional:
m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.
Como u_{2}=0, isso fica
m_{1}u_{1}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.
Conservação da energia cinética (colisão elástica):
\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}.
Com u_{2}=0, simplifica para
\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}.
Uma forma prática (e que vamos usar) de resolver essas duas equações é usar a relação entre velocidades relativa para colisão elástica unidimensional:
v_{1}-v_{2}=-(u_{1}-u_{2}).
Como u_{2}=0, obtemos
v_{1}-v_{2}=-u_{1}.
Essa relação pode ser deduzida das duas equações anteriores ao manipular as diferenças de quadrados; aqui a usamos para simplificar a álgebra (é uma propriedade geral de colisões elásticas 1D: a velocidade relativa inverte de sinal).

Passo 4

Usamos as duas equações simplificadas:
\begin{cases} m_{1}u_{1}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2},\\[6pt] v_{1}-v_{2}=-u_{1}. \end{cases}
Da segunda equação temos v_{1}=-u_{1}+v_{2}. Substituímos na primeira:
m_{1}u_{1}=m_{1}(-u_{1}+v_{2})+m_{2}v_{2}.
Desenvolvendo:
m_{1}u_{1}=-m_{1}u_{1}+m_{1}v_{2}+m_{2}v_{2}.
Passando o termo -m_{1}u_{1} para o lado esquerdo:
m_{1}u_{1}+m_{1}u_{1}=(m_{1}+m_{2})v_{2}.
Logo:
2m_{1}u_{1}=(m_{1}+m_{2})v_{2}.
Daí obtemos a velocidade do bloco 2 imediatamente após a colisão:
v_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,u_{1}.]

Passo 5

Agora substituímos m_{2}=0{,}4\,m_{1} e u_{1}=4{,}0\\ \mathrm{m/s} na expressão de v_{2}:
v_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+0{,}4\,m_{1}}\cdot 4{,}0 =\frac{2}{1+0{,}4}\cdot 4{,}0 =\frac{2}{1{,}4}\cdot 4{,}0.
Calculemos:
\frac{2}{1{,}4}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7},
portanto
v_{2}=\frac{10}{7}\cdot 4{,}0=\frac{40}{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}7142857\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora tratamos do trecho com atrito. A força de atrito cinético tem módulo
F_{at}=\mu_{k} m_{2} g.
Esse escorregamento com força constante realiza trabalho negativo igual a -F_{at}d ao deslocamento d até parar. Aplicando conservação da energia (energia cinética inicial do bloco 2 é dissipada pelo trabalho de atrito):
\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-F_{at}d=0.
Substituindo F_{at}:
\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-\mu_{k}m_{2}g\,d=0.
Observe que m_{2} cancela:
\frac{1}{2}v_{2}^{2}-\mu_{k}g\,d=0 \quad\Rightarrow\quad d=\frac{v_{2}^{2}}{2\mu_{k}g}.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos: v_{2}=\dfrac{40}{7}\\ \mathrm{m/s}, \mu_{k}=0{,}50, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
d=\frac{\left(\dfrac{40}{7}\right)^{2}}{2\cdot 0{,}50\cdot 9{,}8} =\frac{\dfrac{1600}{49}}{9{,}8} =\frac{1600}{49\cdot 9{,}8}.
Calculando numericamente:
49\cdot 9{,}8=480{,}2,
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d=\frac{1600}{480{,}2}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}33\\ \mathrm{m}.

Resposta

3{,}33\\ \mathrm{m}

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