Um bloco 1, de massa ml e velocidade
, que desliza ao longo de um eixo
sobre um piso sem atrito, sofre uma colisão elástica com um bloco 2 de massa
.
inicialmente, em repouso. Os dois blocos deslizam para uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,50 , onde acabam parando. Qual a distância dentro desta região o bloco 2 percorre? (Exercício 64 Cap 9 Halliday ed. 8 Vol. 1)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Um bloco 1 tem massa
e velocidade inicial . - Um bloco 2 tem massa
e está inicialmente em repouso. - Os dois blocos colidem elasticamente (colisão perfeitamente elástica).
- Após a colisão ambos entram numa região onde o coeficiente de atrito cinético é
e acabam parando nessa região. - Pergunta: qual a distância que o bloco 2 percorre dentro dessa região até parar?
Informações numéricas principais:
,
,
,
, e assumimos
.
Passo 2
Entendimento do que vamos usar (sem resolver ainda): na colisão elástica, aplicamos conservação da quantidade de movimento (momentum) e conservação da energia cinética. Escrevemos as equações para as velocidades finais
e
(após a colisão). Depois, para o movimento na região com atrito, usamos o princípio energia-trabalho: a energia cinética do bloco 2 após a colisão é dissipada pelo trabalho da força de atrito até que ele pare.
Agora escrevemos as equações formais que exprimem essas ideias.
Passo 3
Conservação da quantidade de movimento (momentum) para a colisão unidimensional:
Como
, isso fica
Conservação da energia cinética (colisão elástica):
Com
, simplifica para
Uma forma prática (e que vamos usar) de resolver essas duas equações é usar a relação entre velocidades relativa para colisão elástica unidimensional:
Como
, obtemos
Essa relação pode ser deduzida das duas equações anteriores ao manipular as diferenças de quadrados; aqui a usamos para simplificar a álgebra (é uma propriedade geral de colisões elásticas 1D: a velocidade relativa inverte de sinal).
Passo 4
Usamos as duas equações simplificadas:
Da segunda equação temos
. Substituímos na primeira:
Desenvolvendo:
Passando o termo
para o lado esquerdo:
Logo:
Daí obtemos a velocidade do bloco 2 imediatamente após a colisão:
Passo 5
Agora substituímos
e
na expressão de
:
Calculemos:
portanto
Passo 6
Agora tratamos do trecho com atrito. A força de atrito cinético tem módulo
Esse escorregamento com força constante realiza trabalho negativo igual a
ao deslocamento
até parar. Aplicando conservação da energia (energia cinética inicial do bloco 2 é dissipada pelo trabalho de atrito):
Substituindo
:
Observe que
cancela:
Passo 7
Substituímos os valores numéricos:
,
,
.
Calculando numericamente:
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