Uma corrente de metano está sendo aquecida pelo vapor d’água saturado em uma pressão de 20 bar. O metano entra no trocador de calor a 10^{\circ} \mathrm{C} e pressão absoluta de 2 bar em uma vazão de 500 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, e é aquecido a pressão constante para 220^{\circ} \mathrm{C}. O vapor d’agua condensa e sai do trocador de calor como um líquido saturado a 40^{\circ} \mathrm{C}.
a. Quanta energia é requerida ( k W ) para aquecer o metano no trocador de calor?
b. Assumindo que toda a energia transferida do vapor d’água vai para o aquecimento do metano, quanto vapor d’água ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) deve ser fornecido ao trocador de calor?
c. Qual é a vazão volumétrica do condensado de d’água?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
\text{Metano: entrada } = 10^\circ\mathrm{C},\quad \text{pressão absoluta } = 2\\ \mathrm{bar},\quad \dot V_{\text{CH}_4}=500\\ \mathrm{m}^3/\min,\quad \text{saída }=220^\circ\mathrm{C}ãí
\text{Vapor d'água: vapor saturado à }20\\ \mathrm{bar}\\ \text{(entra)},\quad \text{condensa e sai como líquido saturado a }40^\circ\mathrm{C}áàí
As perguntas são:
a. Quanto de potência (energia por unidade de tempo) é requerida para aquecer o metano no trocador de calor, em \mathrm{kW}?
b. Supondo que toda a energia cedida pelo vapor vai para o metano, qual a vazão volumétrica de vapor necessária, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} ?
c. Qual a vazão volumétrica do condensado de água (o líquido que sai), em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} ?

Passo 2

Primeiro vamos transformar unidades e obter a vazão mássica do metano, porque a energia necessária para aquecer um gás costuma ser calculada por \dot Q = \dot m\, c_p\,\Delta T. Dados e conversões:
\dot V_{\text{CH}_4}=500\\ \mathrm{m}^3/\min = \frac{500}{60}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=8{,}3333\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Para achar a massa por segundo precisamos da densidade do metano na condição de entrada. Vou usar a aproximação do gás ideal (explico por que é razoável): à pressão de 2\\ \mathrm{bar} e temperatura baixa ( 10^\circ\mathrm{C}) o metano comporta-se bem como gás ideal para cálculo de massa volumétrica simples. A lei dos gases ideais é
\rho = \frac{p}{R_{\text{spec}}\,T},
onde p é a pressão absoluta (em \mathrm{kPa}, lembrando que 1\\ \mathrm{kPa}=1\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{m}^3), R_{\text{spec}} é a constante específica do gás (em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\,K}) e T a temperatura absoluta em \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular R_{\text{spec}} do metano e a densidade:
M_{\text{CH}_4}=16{,}04\\ \mathrm{kg/kmol},\qquad R_{\text{univ}}=8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\,K)}
R_{\text{spec}}=\frac{R_{\text{univ}}}{M_{\text{CH}_4}}=\frac{8{,}314}{16{,}04}=0{,}5179\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Temperatura absoluta de entrada do metano:
T_1=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão absoluta p=2\\ \mathrm{bar}=200\\ \mathrm{kPa}. Logo a densidade:
\rho_{\text{CH}_4}=\frac{200}{0{,}5179\cdot 283{,}15}=1{,}3647\\ \mathrm{kg/m}^3.
Agora a vazão mássica:
\dot m_{\text{CH}_4}=\rho_{\text{CH}_4}\,\dot V_{\text{CH}_4}=1{,}3647\cdot 8{,}3333=11{,}37\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{arredondado}).

Passo 4

Energia necessária para aquecer o metano: usamos
\dot Q_{\text{CH}_4}=\dot m_{\text{CH}_4}\,c_{p,\text{CH}_4}\,\Delta T,
onde c_{p,\text{CH}_4} é o calor específico a pressão constante do metano (kJ/kg·K) e \Delta T=T_2-T_1. Para metano gasoso em faixa de temperatura entre 10^\circ\mathrm{C} e 220^\circ\mathrm{C} podemos usar c_{p,\text{CH}_4}\approx 2{,}22\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} (valor médio razoável; se quisesse maior precisão usar tabela ou expressão dependente de T). A variação de temperatura:
\Delta T = 220^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=210\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular \dot Q_{\text{CH}_4}:
\dot Q_{\text{CH}_4}=11{,}37\cdot 2{,}22\cdot 210
Faço passo a passo: 2{,}22\cdot 210=466{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}. Multiplicando pela vazão mássica:
\dot Q_{\text{CH}_4}=11{,}37\cdot 466{,}2=5\,303{,}6\\ \mathrm{kJ/s}=5\,303{,}6\\ \mathrm{kW}.
Portanto a potência requerida para aquecer o metano é aproximadamente 5{,}303{,}6\\ \mathrm{kW} (ou 5{,}304\\ \mathrm{kW} arredondando).

Passo 6

Agora vamos calcular quanto vapor é necessário. Pelo enunciado devemos assumir que toda a energia cedida pelo vapor vai para o metano. A energia cedida por unidade de massa de vapor é a diferença entre a entalpia específica do vapor saturado à 20\\ \mathrm{bar} (estado inicial) e a entalpia específica do líquido saturado à 40^\circ\mathrm{C} (estado final do condensado). Isto é:
q_{\text{vap}} = h_g\big(20\\ \mathrm{bar}\big)-h_f\big(40^\circ\mathrm{C}\big).
Esta forma é válida porque entalpia é função de estado: o calor cedido é a diferença entre a entalpia inicial e final do fluido que cede calor, independentemente do caminho. Vou usar valores típicos de tabela de vapor (tabelas de propriedades termodinâmicas):
h_g\big(20\\ \mathrm{bar}\big)\approx 2792\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{entalpia do vapor saturado a }2{,}0\\ \mathrm{MPa})
h_f\big(40^\circ\mathrm{C}\big)\approx 167{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{entalpia do líquido saturado a }40^\circ\mathrm{C})í
Esses valores vêm de tabelas de vapor saturado; estou usando aproximações usuais de tabela (erros menores não mudam a ordem de grandeza).

Passo 7

Calcular o calor liberado por kg de vapor:
q_{\text{vap}}=2792-167{,}5=2624{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
A vazão mássica de vapor necessária é
\dot m_{\text{vap}}=\frac{\dot Q_{\text{CH}_4}}{q_{\text{vap}}}=\frac{5303{,}6}{2624{,}5}=2{,}02\\ \mathrm{kg/s}.
(Arredondei para 3 algarismos significativos: 2{,}02\\ \mathrm{kg/s}.)

Passo 8

A pergunta (b) pede a vazão volumétrica de vapor em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Para isto usamos o volume específico do vapor saturado a 20\\ \mathrm{bar}, v_g(20\\ \mathrm{bar}), obtido nas tabelas. Um valor típico é
v_g(20\\ \mathrm{bar})\approx 0{,}0996\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Então a vazão volumétrica necessária é
\dot V_{\text{vap}}=\dot m_{\text{vap}}\,v_g=2{,}02\cdot 0{,}0996=0{,}201\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 9

Por fim (c): vazão volumétrica do condensado que sai como líquido saturado a 40^\circ\mathrm{C}. Usamos o volume específico do líquido saturado a 40^\circ\mathrm{C}, v_f(40^\circ\mathrm{C}). Para água líquida nessa temperatura:
v_f(40^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}001008\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Logo a vazão volumétrica do condensado é
\dot V_{\text{cond}}=\dot m_{\text{vap}}\,v_f=2{,}02\cdot 0{,}001008=0{,}00204\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Em litros por segundo isto é cerca de 2{,}04\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

a. 5\,303{,}6\\ \mathrm{kW}
b. 0{,}201\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
c. 0{,}00204\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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