400 \mathrm{lbm} / \mathrm{h} de hexano liquido a 25^{\circ} \mathrm{C} e 0,7 \mathrm{~atm} está sendo vaporizado e aquecido para 200^{\circ} \mathrm{C} a pressão constante em um trocador de calor bem isolado, vapor d’água é o fluido de aquecimento. A fonte de vapor d’água disponível está a uma pressão de 40 bar e 200^{\circ} \mathrm{C} de superaquecimento, e pode ser assumido que o vapor d’água deixa o trocador de calor como vapor d’água saturado a 165^{\circ} \mathrm{C}.
a. Determine a quantidade de vapor d’água que deve ser usada ( \mathrm{kg} / \mathrm{h} ) para fornecer esta carga de calor.
b. Qual é a vazão volumétrica \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) do vapor d’água na saída, e do vapor de hexano?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) A massa de vapor d’água necessária (em \mathrm{kg/h}) para fornecer a carga térmica que vaporiza e aquece o hexano.
  • (b) A vazão volumétrica na saída do vapor d’água (em \mathrm{m^3/h}) e a vazão volumétrica do vapor de hexano (em \mathrm{m^3/h}).
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado no enunciado):
  • Vazão mássica de hexano: \dot m_{\text{hex}} = 400\\ \mathrm{lbm/h}.
  • Estado de entrada do hexano: líquido a 25^\circ\mathrm{C} e 0{,}7\\ \mathrm{atm}.
  • Estado final do hexano: vapor a 200^\circ\mathrm{C} (processo a pressão constante 0{,}7\\ \mathrm{atm}).
  • Fluido de aquecimento: vapor d’água disponível a 40\\ \mathrm{bar} com “200^\circ\mathrm{C}) de superaquecimento” (ver explicação e hipótese abaixo).
  • O vapor d’água sai do trocador como vapor saturado a 165^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes (para não deixar dúvidas sobre a resolução):
  • O enunciado é ambíguo quanto ao significado exato de “200°C de superaquecimento”. Vou adotar a hipótese usual em muitos problemas: o vapor de água disponível tem temperatura igual à temperatura de saturação à pressão de 40\\ \mathrm{bar} mais 200^\circ\mathrm{C} de superaquecimento, ou seja T_{\text{v,in}} = T_{\text{sat}}(40\\ \mathrm{bar}) + 200^\circ\mathrm{C}. A temperatura de saturação a 40\\ \mathrm{bar} é aproximadamente 250{,}35^\circ\mathrm{C}, logo tomo T_{\text{v,in}}\approx 450{,}35^\circ\mathrm{C}. Se sua interpretação for diferente, os números mudam, mas o procedimento é o mesmo.
  • Vou usar aproximações típicas de propriedades (valores médios de c_p, entalpia de vaporização etc.) e fórmulas simples (Clausius–Clapeyron e gás ideal quando apropriado). Sempre explico cada escolha.

Passo 2

Converter a vazão de hexano para unidades SI ( \mathrm{kg/h}) e calcular massa:
  • Conversão: 1\\ \mathrm{lbm} = 0{,}45359237\\ \mathrm{kg}.
\dot m_{\text{hex}} = 400\\ \mathrm{lbm/h}\times 0{,}45359237\\ \mathrm{\frac{kg}{lbm}} = 181{,}4369\\ \mathrm{kg/h}.
(Guardamos \dot m_{\text{hex}} = 181{,}437\\ \mathrm{kg/h}.)

Passo 3

Determinar a temperatura de ebulição (saturada) do hexano à pressão de 0{,}7\\ \mathrm{atm}.
  • Conhecemos o ponto de ebulição normal do hexano: T_{b,1} \approx 68{,}7^\circ\mathrm{C} à P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Usamos a forma aproximada da relação de Clausius–Clapeyron (assumindo \Delta H_{\text{vap}} aproximadamente constante na faixa):
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{vap,molar}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T em K.
  • Valores usados:
    • P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{atm},\; T_1 = 68{,}7^\circ\mathrm{C}=341{,}85\\ \mathrm{K}.
    • P_2 = 0{,}7\\ \mathrm{atm}.
    • \Delta H_{\text{vap,molar}} do hexano: a partir de \Delta H_{\text{vap,massa}}\approx 330\\ \mathrm{kJ/kg} e massa molar M_{\text{hex}}=86{,}18\\ \mathrm{g/mol}=0{,}08618\\ \mathrm{kg/mol},
\Delta H_{\text{vap,molar}} = 330\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg}}\times 0{,}08618\\ \mathrm{\frac{kg}{mol}} = 28{,}44\\ \mathrm{kJ/mol}=28440\\ \mathrm{J/mol}.
  • Calcular T_2:
\ln(0{,}7) = -\frac{28440}{8{,}314}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{341{,}85}\right).
Resolvendo para T_2 (mostro o passo numérico):
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{341{,}85} - \frac{8{,}314}{28440}\ln(0{,}7).
\frac{1}{T_2} = 0{,}0029247 - (-0{,}0001042) = 0{,}003029\\ \mathrm{K^{-1}},
T_2 \approx 330{,}2\\ \mathrm{K} \Rightarrow T_{\text{sat}}(0{,}7\\ \mathrm{atm}) \approx 57{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Montar o balanço de energia para o hexano (entalpia por unidade de massa). O aquecimento do hexano líquido até vapor a 200^\circ\mathrm{C} é composto por três partes:
  1. Aquecer o líquido de 25^\circ\mathrm{C} até T_{\text{sat}} \approx 57{,}1^\circ\mathrm{C}.
  2. Vaporização (entalpia de vaporização \Delta h_{\text{vap}} à pressão de ebulição).
  3. Superaquecimento do vapor de T_{\text{sat}} até 200^\circ\mathrm{C}.
Vou estimar valores típicos de propriedades do hexano:
  • c_{p,\ell} (líquido) ≈ 2{,}28\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}.
  • c_{p,g} (vapor) ≈ 1{,}90\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}.
  • \Delta h_{\text{vap}} (massa) ≈ 330\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg}} (valor típico do hexano próximo ao ponto de ebulição; usamos este valor constante como aproximação).
Calcular cada termo (tudo por kg de hexano):
  • Aquecimento do líquido:
\Delta h_1 = c_{p,\ell}\,(T_{\text{sat}} - 25^\circ\mathrm{C}) = 2{,}28\cdot(57{,}1-25)=2{,}28\cdot32{,}1=73{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Vaporização:
\Delta h_2 = \Delta h_{\text{vap}} = 330{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Superaquecimento do vapor:
\Delta h_3 = c_{p,g}\,(200^\circ\mathrm{C}-T_{\text{sat}}) = 1{,}90\cdot(200-57{,}1)=1{,}90\cdot142{,}9=271{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando:
\Delta h_{\text{hex,total}} = \Delta h_1+\Delta h_2+\Delta h_3 = 73{,}2+330{,}0+271{,}5 = 674{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular a carga térmica total necessária (por hora) para vaporizar e aquecer o hexano:
\dot Q = \dot m_{\text{hex}}\cdot \Delta h_{\text{hex,total}} =181{,}437\\ \mathrm{kg/h}\times 674{,}7\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg}} =122{,}434\\ \mathrm{kJ/h}.
(Se preferir em kW: 122{,}434/3600\approx34{,}01\\ \mathrm{kW}.)

Passo 6

Energia fornecida por 1 kg de vapor d’água: precisamos do decréscimo de entalpia do vapor entre entrada e saída do lado da água.
  • Estado de entrada do vapor d’água: suponho (pela hipótese do Passo 1) T_{\text{v,in}}\approx 450{,}35^\circ\mathrm{C} e P=40\\ \mathrm{bar} (vapor superaquecido).
  • Estado de saída: vapor saturado a 165^\circ\mathrm{C}.
Vou usar valores aproximados de entalpia do vapor d’água (típicos de tabelas de vapor):
  • Entalpia do vapor na saída (saturado a 165^\circ\mathrm{C}): h_{\text{v,out}} \approx 2797\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia do vapor na entrada (superaquecido a 40\\ \mathrm{bar} e \approx450^\circ\mathrm{C}): h_{\text{v,in}} \approx 3320\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Esses valores são aproximações representativas (se no seu enunciado houver tabela, substitua por valores de tabela). Logo:
\Delta h_{\text{vapor}} = h_{\text{v,in}} - h_{\text{v,out}} = 3320 - 2797 = 523\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a vazão mássica de vapor d’água necessária (energia por hora / energia por kg de vapor):
\dot m_{\text{v}} = \frac{\dot Q}{\Delta h_{\text{vapor}}} = \frac{122{,}434\\ \mathrm{kJ/h}}{523\\ \mathrm{kJ/kg}} =234{,}1\\ \mathrm{kg/h}.
Esse resultado responde ao item (a).

Passo 8

Calcular as vazões volumétricas pedidas (item (b)).
  1. Vazão volumétrica do vapor d’água na saída (vapor saturado a 165^\circ\mathrm{C}):
  • Usamos a equação do gás ideal de forma aproximada para obter o volume específico v_{\text{v,out}}, ou podemos usar valor de tabela. Aqui uso a forma do gás ideal com a constante do vapor d’água R_{\mathrm{H_2O}}=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Temperatura absoluta: T_{\text{out}}=165^\circ\mathrm{C}=438\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de saturação aproximada em 165^\circ\mathrm{C}: P_{\text{sat}}\approx 6{,}35\\ \mathrm{bar}=635{,}4\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume específico (aprox.):
v_{\text{v,out}} = \frac{R\,T}{P} = \frac{0{,}4615\cdot 438}{635{,}4} = 0{,}318\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Vazão volumétrica:
\dot V_{\text{vapor,out}} = \dot m_{\text{v}}\cdot v_{\text{v,out}} = 234{,}1\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}318\\ \mathrm{\frac{m^3}{kg}} = 74{,}5\\ \mathrm{m^3/h}.
  1. Vazão volumétrica do vapor de hexano (hexano como vapor a 200^\circ\mathrm{C} e 0{,}7\\ \mathrm{atm}):
  • Podemos usar a equação do gás ideal para o hexano em vapor (aproximação razoável a essa temperatura e pressão).
  • Constante específica do hexano:
R_{\text{hex}} = \frac{R_u}{M_{\text{hex}}} = \frac{8314\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}}{86{,}18\\ \mathrm{kg/kmol}} = 96{,}46\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} = 0{,}09646\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Temperatura absoluta: T = 200^\circ\mathrm{C}=473\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P=0{,}7\\ \mathrm{atm} = 70{,}9275\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume específico do vapor de hexano:
v_{\text{hex}} = \frac{R_{\text{hex}} T}{P} = \frac{0{,}09646\cdot 473}{70{,}9275} = 0{,}6436\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Vazão volumétrica do vapor de hexano:
\dot V_{\text{hex,vapor}} = \dot m_{\text{hex}}\cdot v_{\text{hex}} = 181{,}437\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}6436\\ \mathrm{\frac{m^3}{kg}} = 116{,}8\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 9

Resumo das hipóteses e das aproximações usadas (para você checar e ajustar com tabelas reais):
  • Usei Clausius–Clapeyron para estimar T_{\text{sat}} do hexano a 0{,}7\\ \mathrm{atm}.
  • Usei \Delta h_{\text{vap,hex}} \approx 330\\ \mathrm{kJ/kg}, c_{p,\ell}\approx 2{,}28\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{p,g}\approx 1{,}90\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Interpretei “200°C de superaquecimento” do vapor de água como 200°C acima da temperatura de saturação à 40\\ \mathrm{bar}, resultando em T_{\text{v,in}}\approx450^\circ\mathrm{C}, e usei h_{\text{v,in}}\approx3320\\ \mathrm{kJ/kg} e h_{\text{v,out}}\approx2797\\ \mathrm{kJ/kg}. Se você tiver tabelas do professor, substitua esses h por valores de tabela para maior precisão.
  • As vazões volumétricas foram obtidas por aproximação de gás ideal (hexano) e por cálculo direto com v=RT/P (vapor de água saturado também aproximado pela equação do gás ideal, mas isso é razoavelmente próximo quando a pressão não é muito baixa).

Resposta

(a) \dot m_{\text{vapor d'água}} = 234{,}1\\ \mathrm{kg/h}á
(b) \dot V_{\text{vapor d'água (saída)}} = 74{,}5\\ \mathrm{m^3/h}áí
\dot V_{\text{vapor de hexano}} = 116{,}8\\ \mathrm{m^3/h}

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