(1,0) Vapor \left(R=287 \mathrm{~m}^{2} /\left(\mathrm{s}^{2} . \mathrm{K}\right)\right) entra em uma máquina a 232,1 \mathrm{KPa} e 125^{\circ} \mathrm{C}, com entalpia de 2713,5 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg}, com velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e é descarregado a 3973 KPa e 250^{\circ} \mathrm{C}, com entalpia de 2801,5 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg} e velocidade de 152 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a vazão mássica é de 10 \mathrm{Kg} / \mathrm{s} e perda de calor de 238 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg}, qual a potência, em HP, da máquina?

Passo 1

O que a questão pede: calcular a potência da máquina, em HP.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perder):
\dot{m}=10\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica), entrada: p_1=232{,}1\\ \mathrm{kPa}, T_1=125^\circ\mathrm{C}, h_1=2713{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}, V_1=1\\ \mathrm{m/s}. Saída: p_2=3973\\ \mathrm{kPa}, T_2=250^\circ\mathrm{C}, h_2=2801{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}, V_2=152\\ \mathrm{m/s}. Há uma perda de calor de 238\\ \mathrm{kJ/kg} (ou seja, calor saindo do sistema). Quero a potência da máquina em HP.
Observações úteis (apenas para organizar): não foi dada diferença de altura, então a energia potencial pode ser desprezada; todas as quantidades de energia por massa estão em \mathrm{kJ/kg} ou podem ser transformadas; as velocidades estão em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Qual equação física usar e interpretação: vamos usar o balanço de energia em regime permanente para um volume de controlo com uma entrada e uma saída (primeira lei para escoamento permanente). A forma apropriada é
\dot{Q}-\dot{W}=\dot{m}\left(h_2-h_1 + \frac{V_2^2-V_1^2}{2} + g(z_2-z_1)\right).
Explicando cada termo (bem mastigado):
  • \dot{Q} é a taxa de calor transferida para dentro do sistema (em \mathrm{kW}, positivo quando entra calor).
  • \dot{W} é a potência líquida retirada do sistema (em \mathrm{kW}). Se \dot{W} for negativa, significa que a máquina consome potência (ou seja, trabalho é feito sobre o fluido).
  • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}).
  • h_1,h_2 são entalpias específicas na entrada e saída ( \mathrm{kJ/kg}).
  • \frac{V^2}{2} é a energia cinética por unidade de massa (em \mathrm{kJ/kg} quando dividimos por 1000 para converter de J/kg).
  • g(z_2-z_1) é a variação de energia potencial por massa; vamos desprezar porque não há dados de altura (assumimos z_2\approx z_1).
Rearranjando para a potência:
\dot{W}=\dot{Q}-\dot{m}\left(h_2-h_1+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}\right).
Vou calcular cada termo.

Passo 3

Calcular a variação de entalpia por kg:
\Delta h = h_2-h_1 = 2801{,}5 - 2713{,}5 = 88{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Expliquei: subtraí a entalpia de entrada da de saída para saber quanto a entalpia aumentou por kg do fluido.

Passo 4

Calcular a variação de energia cinética por massa \Delta ke. A fórmula é
\Delta ke = \frac{V_2^2-V_1^2}{2}.
Substituindo V_1=1\\ \mathrm{m/s} e V_2=152\\ \mathrm{m/s}:
\Delta ke = \frac{152^2-1^2}{2} = \frac{23104-1}{2}=\frac{23103}{2}=11551{,}5\\ \mathrm{J/kg}.
Para trabalhar com as entalpias (em \mathrm{kJ/kg}) convertemos para \mathrm{kJ/kg} dividindo por 1000:
\Delta ke = 11{,}5515\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Somando as contribuições por massa que aumentam a energia do fluido:
h_2-h_1+\Delta ke = 88{,}0 + 11{,}5515 = 99{,}5515\\ \mathrm{kJ/kg}.
Isto significa que, por cada quilograma que passa, a energia interna+cinética do fluido aumentou em 99{,}5515\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Calcular a taxa de calor \dot{Q}. A questão diz “perda de calor de 238\\ \mathrm{kJ/kg}”, ou seja, por quilograma sai 238\\ \mathrm{kJ} para o ambiente. Em sinalização, calor entrando no sistema é positivo; como é perda, o calor líquido para dentro é negativo:
q_{\text{por kg}} = -238\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{Q} = \dot{m}\cdot q_{\text{por kg}} = 10\cdot(-238) = -2380\\ \mathrm{kJ/s} = -2380\\ \mathrm{kW}.
Explicando: a máquina está perdendo calor para o ambiente a razão de 2380\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Agora aplicamos a equação para obter \dot{W}:
\dot{W}=\dot{Q}-\dot{m}\left(h_2-h_1+\Delta ke\right).
Substituindo números:
\dot{W} = -2380 - 10\cdot(99{,}5515).
Calcule o segundo termo:
10\cdot(99{,}5515)=995{,}515\\ \mathrm{kW}.
Logo
\dot{W} = -2380 - 995{,}515 = -3375{,}515\\ \mathrm{kW}.
Interpretação do sinal: \dot{W}<0 indica que é potência fornecida à máquina (a máquina consome trabalho). O valor absoluto |\dot{W}|=3375{,}515\\ \mathrm{kW} é a potência que a máquina precisa receber.

Passo 8

Converter para HP. Vou usar 1\\ \mathrm{HP}=0{,}7457\\ \mathrm{kW} (valor padrão aproximado). A potência em HP (valor absoluto, porque normalmente perguntam a potência da máquina sem o sinal) é
\mathrm{HP}=\frac{|\dot{W}|}{0{,}7457}=\frac{3375{,}515}{0{,}7457}\\ \mathrm{HP}.
Fazendo a divisão:
\mathrm{HP}\approx 4524{,}817\\ \mathrm{HP}.
Vou dar incentivo: pronto — a conta é grande, mas foi só aplicar a primeira lei em escoamento com cuidado com sinais. Você consegue fazer isso na prova se lembrar: somar entalpias + variação cinética por massa, multiplicar por vazão, subtrair calor, e converter unidades.

Resposta

4524{,}817 HP

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