Uma corrente senoidal é dada pela expressão \mathrm{i}(t)=I_{p} \cos (200 \pi t+\pi / 4)[V] \cdot(\mathbf{1 , 5 0})
a) Qual é a frequência em Hz ? (0,25)
b) Qual é o período em milissegundos? (0,25)
c) Qual é a magnitude de i(t) em t_{1}=1,25 m s ? (0,25)
d) Desenvolva o equacionamento do valor RMS e determine i(t) de forma totalmente parametrizada, ou seja, em função de I_{p}, \omega e \varphi. Observe que \varphi é o ângulo da carga, que vale 45^{\circ} neste caso. (0,75)

Passo 1

O enunciado dá a corrente senoidal
\mathrm{i}(t)=I_{p}\cos\bigl(200\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr)
e pede quatro coisas:
  1. a frequência em hertz;
  2. o período em milissegundos;
  3. a magnitude de \mathrm{i}(t) em t_{1}=1,25\\ \mathrm{ms};
  4. desenvolver o equacionamento do valor RMS e apresentar \mathrm{i}(t) totalmente parametrizada em função de I_{p}, \omega e \varphi.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • O argumento do cosseno está na forma \omega t + \varphi com \omega = 200\pi\\ \mathrm{rad/s} (tirado da expressão) e \varphi = \tfrac{\pi}{4} (o enunciado diz que o ângulo da carga é 45^\circ, ou seja \varphi=\tfrac{\pi}{4}).
  • O instante pedido é t_{1}=1,25\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Como encontramos a frequência a partir de \omega. Definição e fórmula:
\omega\\ \text{(rad/s)} = 2\pi f\\ \text{(Hz)}.
Isolando f temos
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=200\pi (dado pela expressão):
f=\frac{200\pi}{2\pi}=100.
Portanto a frequência é 100\\ \mathrm{Hz}. Explicação curta: \omega é a velocidade angular (radianos por segundo) e dividir por 2\pi transforma para ciclos por segundo (Hz).

Passo 3

O período T é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}.
Usando f=100\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{100}=0,01\\ \mathrm{s}.
Converter para milissegundos ( 1\\ \mathrm{s}=1000\\ \mathrm{ms}):
T=0,01\\ \mathrm{s}=10\\ \mathrm{ms}.
Comentário didático: o período é o tempo de um ciclo completo; com 100\\ \mathrm{Hz} cada ciclo leva 10\\ \mathrm{ms}.

Passo 4

Calcular \mathrm{i}(t_{1}) em t_{1}=1,25\\ \mathrm{ms}. Primeiro converto para segundos:
t_{1}=1,25\\ \mathrm{ms}=0,00125\\ \mathrm{s}.
Agora avalio o argumento do cosseno \omega t_{1}+\varphi com \omega=200\pi e \varphi=\tfrac{\pi}{4}:
\omega t_{1}+\varphi = 200\pi\cdot 0,00125 + \tfrac{\pi}{4}.
Calculo passo a passo: 200\pi\cdot 0,00125 = 200\cdot 0,00125\cdot\pi = 0,25\pi. Então
\omega t_{1}+\varphi = 0,25\pi + 0,25\pi = 0,5\pi = \tfrac{\pi}{2}.
Como \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, temos
\mathrm{i}(t_{1})=I_{p}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=I_{p}\cdot 0 = 0.
Conclusão: a magnitude da corrente naquele instante é zero. Observação prática: é comum no ensino ver instantes onde o seno/cosseno zera, então a corrente instantânea pode ser nula apesar de existir amplitude I_{p}.

Passo 5

Derivar o valor RMS (didático e passo a passo). Definição do valor eficaz (RMS) para corrente periódica \mathrm{i}(t) com período T:
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl[\mathrm{i}(t)\bigr]^{2}\,dt }.
No caso \mathrm{i}(t)=I_{p}\cos(\omega t+\varphi) temos
\bigl[\mathrm{i}(t)\bigr]^{2}=I_{p}^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).
Usamos a identidade trigonométrica (útil e padrão):
\cos^{2}x=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2x)\bigr).
Aplicando:
\bigl[\mathrm{i}(t)\bigr]^{2}=I_{p}^{2}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2\omega t+2\varphi)\bigr).
Agora integramos no intervalo de um período T:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl[\mathrm{i}(t)\bigr]^{2}dt = \frac{I_{p}^{2}}{2}\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}1\,dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\varphi)\,dt\right].
O primeiro termo dá 1. O segundo termo é a média de um cosseno em um número inteiro de meios-períodos correspondentes a 2\omega; a integral de \cos(2\omega t+2\varphi) sobre um período completo é zero. Logo
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl[\mathrm{i}(t)\bigr]^{2}dt = \frac{I_{p}^{2}}{2}.
Tomando a raiz quadrada:
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{I_{p}^{2}}{2}}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}.
Interpretação: para uma senóide pura, o valor eficaz é a amplitude dividida por \sqrt{2}. Isso independe de \varphi (a fase não altera o valor quadrático médio).

Passo 6

Apresentar \mathrm{i}(t) totalmente parametrizada e formas úteis (resumo prático):
  • Forma paramétrica (genérica) solicitada:
\mathrm{i}(t)=I_{p}\cos(\omega t+\varphi).
Aqui I_{p} é a amplitude (pico) da corrente em ampères, \omega é a velocidade angular em rad/s e \varphi é a fase em radianos.
  • Valor RMS correspondente:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}.
  • Forma com os valores deste exercício ( \omega=200\pi, \varphi=\tfrac{\pi}{4}):
\mathrm{i}(t)=I_{p}\cos\bigl(200\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr),\qquad I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}.
  • Dica prática para prova: se pedirem a forma fasorial (útil em circuitos), usa-se a amplitude RMS com ângulo da fase:
\underline{I} = I_{\mathrm{rms}}\angle\varphi = \frac{I_{p}}{\sqrt{2}}\angle\varphi.

Resposta

a) 100\\ \mathrm{Hz}
b) 10\\ \mathrm{ms}
c) 0\\ \mathrm{A}
d) I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_{p}}{\sqrt{2}},\quad \mathrm{i}(t)=I_{p}\cos(\omega t+\varphi) com \omega=200\pi e \varphi=\tfrac{\pi}{4} (logo \mathrm{i}(t)=I_{p}\cos(200\pi t+\tfrac{\pi}{4}) e \;I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_{p}}{\sqrt{2}}).

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