Uma corrente senoidal é dada pela expressão
a) Qual é a frequência em Hz ?
b) Qual é o período em milissegundos?
c) Qual é a magnitude de
em
?
d) Desenvolva o equacionamento do valor RMS e determine
de forma totalmente parametrizada, ou seja, em função de
e
. Observe que
é o ângulo da carga, que vale
neste caso.
a) Qual é a frequência em Hz ?
b) Qual é o período em milissegundos?
c) Qual é a magnitude de
d) Desenvolva o equacionamento do valor RMS e determine
Passo 1
O enunciado dá a corrente senoidal
e pede quatro coisas:
- a frequência em hertz;
- o período em milissegundos;
- a magnitude de
em ; - desenvolver o equacionamento do valor RMS e apresentar
totalmente parametrizada em função de , e .
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- O argumento do cosseno está na forma
com (tirado da expressão) e (o enunciado diz que o ângulo da carga é , ou seja ). - O instante pedido é
.
Passo 2
Como encontramos a frequência a partir de
. Definição e fórmula:
Isolando
temos
Substituindo
(dado pela expressão):
Portanto a frequência é
. Explicação curta:
é a velocidade angular (radianos por segundo) e dividir por
transforma para ciclos por segundo (Hz).
Passo 3
O período
é o inverso da frequência:
Usando
:
Converter para milissegundos (
):
Comentário didático: o período é o tempo de um ciclo completo; com
cada ciclo leva
.
Passo 4
Calcular
em
. Primeiro converto para segundos:
Agora avalio o argumento do cosseno
com
e
:
Calculo passo a passo:
. Então
Como
, temos
Conclusão: a magnitude da corrente naquele instante é zero. Observação prática: é comum no ensino ver instantes onde o seno/cosseno zera, então a corrente instantânea pode ser nula apesar de existir amplitude
.
Passo 5
Derivar o valor RMS (didático e passo a passo). Definição do valor eficaz (RMS) para corrente periódica
com período
:
No caso
temos
Usamos a identidade trigonométrica (útil e padrão):
Aplicando:
Agora integramos no intervalo de um período
:
O primeiro termo dá
. O segundo termo é a média de um cosseno em um número inteiro de meios-períodos correspondentes a
; a integral de
sobre um período completo é zero. Logo
Tomando a raiz quadrada:
Interpretação: para uma senóide pura, o valor eficaz é a amplitude dividida por
. Isso independe de
(a fase não altera o valor quadrático médio).
Passo 6
Apresentar
totalmente parametrizada e formas úteis (resumo prático):
- Forma paramétrica (genérica) solicitada:
Aqui
é a amplitude (pico) da corrente em ampères,
é a velocidade angular em rad/s e
é a fase em radianos.
- Valor RMS correspondente:
- Forma com os valores deste exercício (
, ):
- Dica prática para prova: se pedirem a forma fasorial (útil em circuitos), usa-se a amplitude RMS com ângulo da fase:
Resposta
a)
b)
c)
d) com
e
(logo
e
).
b)
c)
d)