Considerando os números complexos, \mathbb{Z}_{1}, \mathbb{Z}_{2} e \mathbb{Z}_{3}, reescreva-os na forma polar. (0,75)
\mathbb{Z}_{1}=\sqrt{\frac{27}{4}}+j \frac{3}{2} \quad \mathbb{Z}_{2}=\sqrt{\frac{27}{6}}-j \frac{\sqrt{18}}{2} \quad \mathbb{Z}_{3}=\sqrt{\frac{18}{8}}+j \frac{9}{\sqrt{12}}
Table 1: Forma Polar
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\mathbb{Z}_{1}= \mathbb{Z}_{2}= \mathbb{Z}_{3}=

Passo 1

O enunciado pede para reescrever os complexos \mathbb{Z}_{1},\mathbb{Z}_{2},\mathbb{Z}_{3} na forma polar. As informações dadas são:
\mathbb{Z}_{1}=\sqrt{\frac{27}{4}}+j \frac{3}{2},\qquad \mathbb{Z}_{2}=\sqrt{\frac{27}{6}}-j \frac{\sqrt{18}}{2},\qquad \mathbb{Z}_{3}=\sqrt{\frac{18}{8}}+j \frac{9}{\sqrt{12}}.
Nada mais foi fornecido. O objetivo é calcular, para cada \mathbb{Z}_k, o módulo r e o argumento \theta e expressar na forma polar r(\cos\theta + j\sin\theta) (ou r\angle\theta).

Passo 2

Vamos revisar a fórmula de conversão (passo-a-passo didático).
  • Dado um complexo escrito em forma cartesiana \;a+jb\; com a,b\in\mathbb{R}:
    • o módulo é \;r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;. Aqui r é a distância do ponto (a,b) até a origem no plano complexo.
    • o argumento principal é \;\theta=\operatorname{atan2}(b,a)\;, que significa o ângulo formado com o eixo real, tomando em conta o sinal de a e b (ou seja, o quadrante). Na prática, se a\neq0 podemos calcular \theta=\arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big) e ajustar pelo quadrante.
  • A forma polar é então \;r(\cos\theta + j\sin\theta) ou, de forma compacta, \;r\angle\theta.
    Vou aplicar isso a cada \mathbb{Z}_k, simplificando radicais antes de calcular r e \theta. Sempre que eu usar um valor trigonométrico conhecido (por exemplo \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}), vou explicar.

Passo 3

Simplificação de \mathbb{Z}_{1}.
\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{\sqrt{27}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\mathbb{Z}_{1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+j\frac{3}{2}.
Aqui a_{1}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} e b_{1}=\dfrac{3}{2}.

Passo 4

Cálculo do módulo de \mathbb{Z}_{1}:
r_{1}=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} =\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}.
Agora desenvolvendo:
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{9\cdot 3}{4}=\frac{27}{4},\qquad \left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Somando:
r_{1}=\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Cálculo do argumento de \mathbb{Z}_{1}:
\theta_{1}=\arctan\!\left(\frac{b_{1}}{a_{1}}\right) =\arctan\!\left(\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{3\sqrt{3}}{2}}\right) =\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Sabemos que \tan\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Como a_{1}>0 e b_{1}>0, o ângulo está no primeiro quadrante, logo
\theta_{1}=\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Conclusão para \mathbb{Z}_{1}:
\mathbb{Z}_{1}=3\big(\cos\tfrac{\pi}{6}+j\sin\tfrac{\pi}{6}\big)=3\angle \tfrac{\pi}{6}.

Passo 7

Simplificação de \mathbb{Z}_{2}.
Primeiro simplificamos \sqrt{\tfrac{27}{6}}:
\sqrt{\frac{27}{6}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Também \sqrt{18}=3\sqrt{2}, então
\frac{\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\mathbb{Z}_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-j\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Aqui a_{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} e b_{2}=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Cálculo do módulo de \mathbb{Z}_{2}:
r_{2}=\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} =\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}.
Calculando:
\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{9\cdot 2}{4}=\frac{18}{4},
logo
r_{2}=\sqrt{\frac{18}{4}+\frac{18}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\sqrt{9}=3.

Passo 9

Cálculo do argumento de \mathbb{Z}_{2}:
\theta_{2}=\operatorname{atan2}\!\left(b_{2},a_{2}\right) =\operatorname{atan2}\!\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).
A razão \dfrac{b_{2}}{a_{2}}=-1, então \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}. Aqui a_{2}>0 e b_{2}<0, isto é, quarto quadrante, portanto o argumento principal é
\theta_{2}=-\frac{\pi}{4}
(ou, se preferir ângulo positivo equivalente, \theta_{2}=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}).

Passo 10

Conclusão para \mathbb{Z}_{2}:
\mathbb{Z}_{2}=3\big(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+j\sin(-\tfrac{\pi}{4})\big)=3\angle \big(-\tfrac{\pi}{4}\big).

Passo 11

Simplificação de \mathbb{Z}_{3}.
Primeiro
\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.
Também \sqrt{12}=2\sqrt{3}, então
\frac{9}{\sqrt{12}}=\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\mathbb{Z}_{3}=\frac{3}{2}+j\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Aqui a_{3}=\dfrac{3}{2} e b_{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 12

Cálculo do módulo de \mathbb{Z}_{3}:
r_{3}=\sqrt{a_{3}^{2}+b_{3}^{2}} =\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Desenvolvendo:
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},\qquad \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{9\cdot 3}{4}=\frac{27}{4},
logo
r_{3}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\sqrt{9}=3.

Passo 13

Cálculo do argumento de \mathbb{Z}_{3}:
\theta_{3}=\arctan\!\left(\frac{b_{3}}{a_{3}}\right) =\arctan\!\left(\frac{\tfrac{3\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right) =\arctan\!\big(\sqrt{3}\big).
Sabemos que \tan\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\sqrt{3} e como a_{3}>0,b_{3}>0 (primeiro quadrante),
\theta_{3}=\frac{\pi}{3}.

Passo 14

Conclusão para \mathbb{Z}_{3}:
\mathbb{Z}_{3}=3\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+j\sin\tfrac{\pi}{3}\big)=3\angle \tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\mathbb{Z}_{1}=3\big(\cos\tfrac{\pi}{6}+j\sin\tfrac{\pi}{6}\big)=3\angle \tfrac{\pi}{6}
\mathbb{Z}_{2}=3\big(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+j\sin(-\tfrac{\pi}{4})\big)=3\angle \big(-\tfrac{\pi}{4}\big)
\mathbb{Z}_{3}=3\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+j\sin\tfrac{\pi}{3}\big)=3\angle \tfrac{\pi}{3}

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