Mostre que as potências ativas e reativas que fluem para a carga em uma linha de transmissão são dadas por:
\begin{aligned} & P_{\text {ativa }}=\frac{\left|V_{+}\right|^{2}}{2 Z_{c}}\left(1-|\Gamma|^{2}\right) \\\ & P_{\text {reativa }}=\operatorname{Im}\left[\Gamma_{L}^{*}\left|V_{+}\right|^{2}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as expressões da potência ativa P e reativa Q entregues à carga de impedância Z_L numa linha de transmissão de impedância característica Z_c.
Conteúdo necessário:
  • definição de onda incidente V_+ e refletida V_-=\Gamma_L\,V_+, com \Gamma_L=(Z_L - Z_c)/(Z_L + Z_c);
  • fórmulas da tensão e corrente no ponto da carga;
  • potência complexa S=\tfrac12\,V_L\,I_L^*, cuja parte real é P e parte imaginária é Q.

Passo 2

No ponto da carga (tomando a posição x=0) a tensão é soma das ondas incidente e refletida:
V_L = V_+ + V_- = V_+\,(1 + \Gamma_L).
A corrente associada às duas ondas é
I_+ = \frac{V_+}{Z_c}, \quad I_- = -\,\frac{V_-}{Z_c} = -\,\frac{\Gamma_L\,V_+}{Z_c},
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I_L = I_+ + I_- = \frac{V_+}{Z_c}\,(1 - \Gamma_L).

Passo 3

A potência complexa absorvida pela carga é
S = \frac12\,V_L\,I_L^* = \frac12\,(V_+ (1+\Gamma_L))\, \bigl(\tfrac{V_+}{Z_c}(1-\Gamma_L)\bigr)^{*}.
Como Z_c é real, basta conjugar (1-\Gamma_L) e V_+:
S = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,(1 + \Gamma_L)\,(1 - \Gamma_L^*)\,.

Passo 4

Expandindo o produto (1+\Gamma_L)(1-\Gamma_L^*) temos
(1+\Gamma_L)(1-\Gamma_L^*) = 1 -|\Gamma_L|^2 + \Gamma_L - \Gamma_L^*.
Então
S = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c} \Bigl[\,\bigl(1-|\Gamma_L|^2\bigr) + \bigl(\Gamma_L - \Gamma_L^*\bigr)\Bigr].
Dessa forma
P = \Re\{S\} = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,\bigl(1 - |\Gamma_L|^2\bigr),
Q = \Im\{S\} = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,\Im\bigl(\Gamma_L - \Gamma_L^*\bigr) = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,(2\,\Im\{\Gamma_L\}) = \frac{|V_+|^2}{Z_c}\,\Im\{\Gamma_L\}.

Passo 5

Reescrevendo, obtemos exatamente as fórmulas pedidas:
P_{\text{ativa}} = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,\bigl(1 - |\Gamma_L|^2\bigr), \qquad P_{\text{reativa}} = \frac{|V_+|^2}{Z_c}\,\Im\{\Gamma_L\}.

Resposta

P_{\text{ativa}} = \frac{|V_+|^2}{2\,Z_c}\,\bigl(1 - |\Gamma|^2\bigr), \qquad P_{\text{reativa}} = \Im\bigl[\Gamma_L^*\,|V_+|^2\bigr].

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