com as condições de contorno u(0, t)=0 e u(L, t)=0, e as condições iniciais u(x, 0)=f(x) \mathrm{e} \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t}=g(x).
(a) Suponha uma solução do tipo u(x, t)= \mathbb{X}(x) \mathbb{T}(t) e separe as variáveis, obtendo uma EDO para x e outra para t.
(b) Use uma constante de separação -\lambda^{2} para desacoplar as equações.
(c) Resolva a EDO espacial e, aplicando as condições de contorno, mostre que \lambda=\frac{n \pi}{L}.
(d) Resolva a EDO temporal, utilizando o valor de \lambda encontrado.
(e) Escreva a solução u(x, t) em termos de \mathbb{X}(x) e \mathbb{T}(t).
(f) Escreva a solução geral como série de Fourier e explique como ela representa os modos naturais de vibração de uma corda fixa, ou seja, a superposição dos harmônicos que escutamos ao tocar uma corda.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede (cada item (a)–(f) será resolvido nos passos seguintes).
u(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\quad\text{para }0\le x\le L.
O que o enunciado pede:
(a) assumir uma solução do tipo u(x,t)=\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}(t) e separar variáveis para obter uma EDO em x e outra em t;
(b) usar uma constante de separação -\lambda^{2} para desacoplar as equações;
(c) resolver a EDO espacial com as condições de contorno e mostrar que \lambda=\dfrac{n\pi}{L} (com n inteiro positivo);
(d) resolver a EDO temporal usando o valor de \lambda encontrado;
(e) escrever u(x,t) em termos de \mathbb{X}(x) e \mathbb{T}(t);
(f) escrever a solução geral como série de Fourier (soma de modos), obter as fórmulas para os coeficientes a partir de f e g e explicar a interpretação física (modos naturais / harmônicos).
Passo 2
Assumimos a forma separável u(x,t)=\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}(t). Substituímos na PDE e dividimos para separar as variáveis:
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, logo ambos devem ser iguais a uma constante de separação. Este é o procedimento padrão de separação de variáveis.
Passo 3
Escolhemos a constante de separação negativa, escrevendo-a como -\lambda^{2} (isso é conveniente para obter soluções com seno e cosseno na parte espacial). Assim:
Comentário didático: escolher -\lambda^{2} evita soluções exponenciais na parte espacial que não satisfariam as condições de contorno fixas; além disso produz funções trigonométricas que são adequadas para problemas com contornos nulos. As variáveis \mathbb{X} e \mathbb{T} são funções puras de x e t, respectivamente.
Passo 4
Analisamos a EDO espacial
\mathbb{X}''(x)+\lambda^{2}\mathbb{X}(x)=0
com as condições de contorno
\mathbb{X}(0)=0,\qquad \mathbb{X}(L)=0,
pois u(0,t)=\mathbb{X}(0)\mathbb{T}(t)=0 para todo t implica \mathbb{X}(0)=0 (assumindo \mathbb{T} não identicamente zero), e similarmente em x=L.
Vamos estudar os três casos de \lambda:
\lambda=0. Então \mathbb{X}''=0 e
\mathbb{X}(x)=Ax+B.
As condições \mathbb{X}(0)=0 e \mathbb{X}(L)=0 implicam B=0 e A L + B = 0\Rightarrow A L =0\Rightarrow A=0. Logo \mathbb{X}\equiv 0, solução trivial (descartada).
\lambda^{2}<0 (ou seja \lambda imaginário). Escrevendo \lambda = i\mu com \mu>0, a solução geral seria exponencial real (combinação de e^{\pm \mu x}). Aplicando \mathbb{X}(0)=0 e \mathbb{X}(L)=0 leva novamente à solução trivial. Portanto não nos interessa.
\lambda^{2}>0 (normal case): escrevemos \lambda>0. A solução é trigonométrica:
\mathbb{X}(x)=C\cos(\lambda x)+D\sin(\lambda x).
Aplicando \mathbb{X}(0)=0 dá C=0. Então
\mathbb{X}(x)=D\sin(\lambda x).
Aplicando \mathbb{X}(L)=0 exige D\sin(\lambda L)=0. Para evitar a solução trivial D=0 temos que
\sin(\lambda L)=0\quad\Rightarrow\quad \lambda L = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como \lambda>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Portanto
\lambda_n = \frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
e os autovalores espaciais correspondentes produzem autofunções (modos espaciais)
Comentário didático: este passo é crucial — as condições de contorno quantizam \lambda. Isso significa que apenas certos comprimentos de onda “cabem” na corda fixa, dando origem aos modos discretos (harmônicos).
Passo 5
Agora resolvemos a EDO temporal correspondente para cada \lambda_n:
onde A_n e B_n são constantes (dependendo do modo). Aqui \omega_n>0 determina a frequência temporal do modo n.
Comentário didático: fisicamente \omega_n é a frequência angular do n-ésimo harmônico; a frequência (hertz) é f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}=\dfrac{v}{2L}n.
Passo 6
Montamos a solução separada para cada modo n combinando \mathbb{X}_n e \mathbb{T}_n:
Aqui \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) é a forma espacial fixa (modo) e o fator entre parênteses descreve a oscilação temporal desse modo com frequência \omega_n.
Comentário didático: cada u_n é chamado de modo normal de vibração — a corda vibra com a forma espacial dada por \sin(n\pi x/L) e oscila no tempo com frequência \omega_n.
Passo 7
A solução geral é uma combinação linear (superposição) de todos os modos admissíveis n=1,2,\dots\). Assim:
\[u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \big(A_n\cos(\omega_n t) + B_n\sin(\omega_n t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Agora usamos as condições iniciais para determinar A_n e B_n.
Comentário didático: na prática você projeta as condições iniciais nas funções próprias espaciais para obter as amplitudes iniciais de cada modo. O fator 1/\omega_n em B_n vem do fato de que u_t tem \omega_n B_n como coeficiente na expansão.
Passo 9
Escrevemos a solução final completa substituindo A_n, B_n e \omega_n:
com \omega_n = v\dfrac{n\pi}{L} e integração em s apenas para não confundir variável de integração com x.
Comentário didático final: cada termo da soma é um modo normal com forma espacial \sin(n\pi x/L) e frequência \omega_n. A solução é a superposição linear desses modos; se a corda for perturbada inicialmente, essa perturbação é decomposta em harmônicos (senoides espaciais) com amplitudes determinadas por f e g. Fisicamente, estes modos são os harmônicos que ouvimos numa corda: o modo n=1 é o fundamental (menor frequência), n=2 é o primeiro harmônico (segunda parcial), e assim por diante. Cada harmônico vibra independentemente com sua frequência própria, e a soma deles dá o movimento total.