Considere a equação de onda unidimensional que descreve as vibrações de uma corda fixa:
\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=v^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}},
com as condições de contorno u(0, t)=0 e u(L, t)=0, e as condições iniciais u(x, 0)=f(x) \mathrm{e} \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t}=g(x).
(a) Suponha uma solução do tipo u(x, t)= \mathbb{X}(x) \mathbb{T}(t) e separe as variáveis, obtendo uma EDO para x e outra para t.
(b) Use uma constante de separação -\lambda^{2} para desacoplar as equações.
(c) Resolva a EDO espacial e, aplicando as condições de contorno, mostre que \lambda=\frac{n \pi}{L}.
(d) Resolva a EDO temporal, utilizando o valor de \lambda encontrado.
(e) Escreva a solução u(x, t) em termos de \mathbb{X}(x) e \mathbb{T}(t).
(f) Escreva a solução geral como série de Fourier e explique como ela representa os modos naturais de vibração de uma corda fixa, ou seja, a superposição dos harmônicos que escutamos ao tocar uma corda.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede (cada item (a)–(f) será resolvido nos passos seguintes).
  • Equação parcial (onda unidimensional):
\frac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial t^{2}} = v^{2}\,\frac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial x^{2}}.
  • Condições de contorno:
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
  • Condições iniciais:
u(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\quad\text{para }0\le x\le L.
O que o enunciado pede:
(a) assumir uma solução do tipo u(x,t)=\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}(t) e separar variáveis para obter uma EDO em x e outra em t;
(b) usar uma constante de separação -\lambda^{2} para desacoplar as equações;
(c) resolver a EDO espacial com as condições de contorno e mostrar que \lambda=\dfrac{n\pi}{L} (com n inteiro positivo);
(d) resolver a EDO temporal usando o valor de \lambda encontrado;
(e) escrever u(x,t) em termos de \mathbb{X}(x) e \mathbb{T}(t);
(f) escrever a solução geral como série de Fourier (soma de modos), obter as fórmulas para os coeficientes a partir de f e g e explicar a interpretação física (modos naturais / harmônicos).

Passo 2

Assumimos a forma separável u(x,t)=\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}(t). Substituímos na PDE e dividimos para separar as variáveis:
Substituição:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}''(t),\qquad \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \mathbb{X}''(x)\,\mathbb{T}(t).
Colocando na PDE:
\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}''(t) = v^{2}\,\mathbb{X}''(x)\,\mathbb{T}(t).
Dividindo por v^{2}\,\mathbb{X}(x)\,\mathbb{T}(t) (supondo \mathbb{X} e \mathbb{T} não nulas identicamente):
\frac{\mathbb{T}''(t)}{v^{2}\,\mathbb{T}(t)} = \frac{\mathbb{X}''(x)}{\mathbb{X}(x)}.
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, logo ambos devem ser iguais a uma constante de separação. Este é o procedimento padrão de separação de variáveis.

Passo 3

Escolhemos a constante de separação negativa, escrevendo-a como -\lambda^{2} (isso é conveniente para obter soluções com seno e cosseno na parte espacial). Assim:
\frac{\mathbb{T}''(t)}{v^{2}\,\mathbb{T}(t)} = \frac{\mathbb{X}''(x)}{\mathbb{X}(x)} = -\lambda^{2},
onde \lambda é um número real não negativo (iremos ver os valores permitidos).
Isto gera duas ODEs ordinárias desacopladas:
  • EDO espacial:
\mathbb{X}''(x) + \lambda^{2}\,\mathbb{X}(x)=0.
  • EDO temporal:
\mathbb{T}''(t) + v^{2}\lambda^{2}\,\mathbb{T}(t)=0.
Comentário didático: escolher -\lambda^{2} evita soluções exponenciais na parte espacial que não satisfariam as condições de contorno fixas; além disso produz funções trigonométricas que são adequadas para problemas com contornos nulos. As variáveis \mathbb{X} e \mathbb{T} são funções puras de x e t, respectivamente.

Passo 4

Analisamos a EDO espacial
\mathbb{X}''(x)+\lambda^{2}\mathbb{X}(x)=0
com as condições de contorno
\mathbb{X}(0)=0,\qquad \mathbb{X}(L)=0,
pois u(0,t)=\mathbb{X}(0)\mathbb{T}(t)=0 para todo t implica \mathbb{X}(0)=0 (assumindo \mathbb{T} não identicamente zero), e similarmente em x=L.
Vamos estudar os três casos de \lambda:
  1. \lambda=0. Então \mathbb{X}''=0 e
\mathbb{X}(x)=Ax+B.
As condições \mathbb{X}(0)=0 e \mathbb{X}(L)=0 implicam B=0 e A L + B = 0\Rightarrow A L =0\Rightarrow A=0. Logo \mathbb{X}\equiv 0, solução trivial (descartada).
  1. \lambda^{2}<0 (ou seja \lambda imaginário). Escrevendo \lambda = i\mu com \mu>0, a solução geral seria exponencial real (combinação de e^{\pm \mu x}). Aplicando \mathbb{X}(0)=0 e \mathbb{X}(L)=0 leva novamente à solução trivial. Portanto não nos interessa.
  2. \lambda^{2}>0 (normal case): escrevemos \lambda>0. A solução é trigonométrica:
\mathbb{X}(x)=C\cos(\lambda x)+D\sin(\lambda x).
Aplicando \mathbb{X}(0)=0 C=0. Então
\mathbb{X}(x)=D\sin(\lambda x).
Aplicando \mathbb{X}(L)=0 exige D\sin(\lambda L)=0. Para evitar a solução trivial D=0 temos que
\sin(\lambda L)=0\quad\Rightarrow\quad \lambda L = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como \lambda>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Portanto
\lambda_n = \frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
e os autovalores espaciais correspondentes produzem autofunções (modos espaciais)
\mathbb{X}_n(x) = D_n \sin\!\left(\frac{n\pi}{L} x\right).
Comentário didático: este passo é crucial — as condições de contorno quantizam \lambda. Isso significa que apenas certos comprimentos de onda “cabem” na corda fixa, dando origem aos modos discretos (harmônicos).

Passo 5

Agora resolvemos a EDO temporal correspondente para cada \lambda_n:
\mathbb{T}''(t) + v^{2}\lambda_n^{2}\,\mathbb{T}(t)=0.
Substituindo \lambda_n = \dfrac{n\pi}{L}, obtemos
\mathbb{T}''(t) + \omega_n^{2}\,\mathbb{T}(t)=0,
onde definimos a frequência angular de cada modo
\omega_n := v\lambda_n = v\frac{n\pi}{L}.
A EDO acima é a equação do oscilador harmônico simples. A sua solução geral é
\mathbb{T}_n(t) = A_n\cos(\omega_n t) + B_n\sin(\omega_n t),
onde A_n e B_n são constantes (dependendo do modo). Aqui \omega_n>0 determina a frequência temporal do modo n.
Comentário didático: fisicamente \omega_n é a frequência angular do n-ésimo harmônico; a frequência (hertz) é f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}=\dfrac{v}{2L}n.

Passo 6

Montamos a solução separada para cada modo n combinando \mathbb{X}_n e \mathbb{T}_n:
u_n(x,t) = \big(A_n\cos(\omega_n t) + B_n\sin(\omega_n t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Aqui \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) é a forma espacial fixa (modo) e o fator entre parênteses descreve a oscilação temporal desse modo com frequência \omega_n.
Comentário didático: cada u_n é chamado de modo normal de vibração — a corda vibra com a forma espacial dada por \sin(n\pi x/L) e oscila no tempo com frequência \omega_n.

Passo 7

A solução geral é uma combinação linear (superposição) de todos os modos admissíveis n=1,2,\dots\). Assim: \[u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \big(A_n\cos(\omega_n t) + B_n\sin(\omega_n t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Agora usamos as condições iniciais para determinar A_n e B_n.
Condição inicial u(x,0)=f(x) implica
f(x) = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Ou seja, os A_n são os coeficientes da série de Fourier seno de f(x) no intervalo [0,L].
Por ortogonalidade das funções senoidais (fórmula chave):
\int_{0}^{L} \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\,dx = \begin{cases} 0, & n\neq m,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & n=m. \end{cases}
Multiplicamos f(x)\] pela base \(\sin(n\pi x/L) e integramos para encontrar A_n:
A_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.]

Passo 8

Agora usamos a segunda condição inicial u_t(x,0)=g(x). Primeiro calculamos u_t:
u_t(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \big(-A_n\omega_n\sin(\omega_n t) + B_n\omega_n\cos(\omega_n t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Em t=0 isso dá
g(x) = u_t(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n\omega_n \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Novamente, expandimos g(x) em série seno e usamos a ortogonalidade para isolar B_n:
B_n\omega_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Portanto
B_n = \frac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Resumo das constantes:
A_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx, \qquad B_n = \frac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx,
com \omega_n = v\,\dfrac{n\pi}{L}.
Comentário didático: na prática você projeta as condições iniciais nas funções próprias espaciais para obter as amplitudes iniciais de cada modo. O fator 1/\omega_n em B_n vem do fato de que u_t tem \omega_n B_n como coeficiente na expansão.

Passo 9

Escrevemos a solução final completa substituindo A_n, B_n e \omega_n:
\boxed{\,u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}s\right)\,ds\right)\cos\!\left(\omega_n t\right) + \left(\frac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}s\right)\,ds\right)\sin\!\left(\omega_n t\right) \right]\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,}
com \omega_n = v\dfrac{n\pi}{L} e integração em s apenas para não confundir variável de integração com x.
Comentário didático final: cada termo da soma é um modo normal com forma espacial \sin(n\pi x/L) e frequência \omega_n. A solução é a superposição linear desses modos; se a corda for perturbada inicialmente, essa perturbação é decomposta em harmônicos (senoides espaciais) com amplitudes determinadas por f e g. Fisicamente, estes modos são os harmônicos que ouvimos numa corda: o modo n=1 é o fundamental (menor frequência), n=2 é o primeiro harmônico (segunda parcial), e assim por diante. Cada harmônico vibra independentemente com sua frequência própria, e a soma deles dá o movimento total.

Resposta

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}s\right)\,ds\right)\cos\!\left(\frac{n\pi v}{L} t\right) + \left(\frac{2}{\tfrac{n\pi v}{L}\,L}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}s\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{n\pi v}{L} t\right) \right]\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).

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