É correto afirmar que X(t)=c1binom11 e^3 t+c2binom13 e^5 t é solução geral do sistema de equações diferenciais
c d xd t=2 x+y d yd t=-3 x+6 y
pelo método dos autovalores.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
c d xd t=2 x+y d yd t=-3 x+6 y
E uma função proposta como solução geral:
X(t) = c111 e^3 t + c213 e^5 t
O conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares e o método dos autovalores para encontrar soluções. Precisaremos identificar os autovalores e autovetores da matriz do sistema e verificar se a função dada satisfaz as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações diferenciais na forma matricial:
dXdt = A X
Onde:
A = 2 & 1-3 & 6, X = xy

Passo 3

Para resolver esse sistema usando o método dos autovalores, precisamos encontrar os autovalores ( lambda) da matriz A. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = 0

Passo 4

Calculando o determinante:
det(2 - lambda & 1-3 & 6 - lambda) = (2 - lambda)(6 - lambda) - (-3)(1) = (2 - lambda)(6 - lambda) + 3
Expandindo:
(2)(6) - 2lambda - 6lambda + lambda^2 + 3 = 12 - 8lambda + lambda^2 + 3 = lambda^2 - 8lambda + 15
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 8lambda + 15 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 8 pm raiz64 - 602 = 8 pm raiz42 = 8 pm 22
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 5, lambda2 = 3

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 5:
Resolvemos (A - 5I)v = 0:
2-5 & 1-3 & 6-5 v1v2 = -3 & 1-3 & 1 v1v2 = 0
Isso nos dá a equação:
-3v1 + v2 = 0 implies v2 = 3v1
Escolhendo v1 = 1, obtemos o autovetor:
v1 = 13

Passo 7

Para lambda2 = 3:
Resolvemos (A - 3I)v = 0:
2-3 & 1-3 & 6-3 v1v2 = -1 & 1-3 & 3 v1v2 = 0
Isso nos dá a equação:
- v1 + v2 = 0 implies v2 = v1
Escolhendo v1 = 1, obtemos o autovetor:
v2 = 11

Passo 8

Agora, a solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
X(t) = c111 e^3 t + c213 e^5 t

Resposta

A função X(t) = c111 e^3 t + c213 e^5 t é, de fato, a solução geral do sistema de equações diferenciais dado pelo método dos autovalores.

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