É correto afirmar que
é solução geral do sistema de equações diferenciais
pelo método dos autovalores.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
E uma função proposta como solução geral:
O conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares e o método dos autovalores para encontrar soluções. Precisaremos identificar os autovalores e autovetores da matriz do sistema e verificar se a função dada satisfaz as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações diferenciais na forma matricial:
Onde:
Passo 3
Para resolver esse sistema usando o método dos autovalores, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Passo 4
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, os autovalores são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, obtemos o autovetor:
Passo 7
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, obtemos o autovetor:
Passo 8
Agora, a solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
Resposta
A função
é, de fato, a solução geral do sistema de equações diferenciais dado pelo método dos autovalores.