Encontre a solução do sistema dado
X^prime=(cc 3 & -18 2 & -9 ) X

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
X^prime=(cc 3 & -18 2 & -9 ) X
Esse exercício está relacionado ao estudo de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes, que nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante da matriz $ A - \lambda I $ e igualamos a zero:
A - lambda I
Onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
det(cc 3 - lambda & -18 2 & -9 - lambda ) = (3 - lambda)(-9 - lambda) - (-18)(2)
Simplificando:
(3 - lambda)(-9 - lambda) + 36 = lambda^2 + 6lambda + 9
Igualando a zero:
lambda^2 + 6lambda + 9 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -6 pm raiz36 - 362 = -62 = -3
Então, o autovalor é $ \lambda = -3 $ com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a $ \lambda = -3 $. Resolvemos $ (A + 3I)\mathbf{v} = 0 $:
lambda = -3
Isso nos leva à equação $ 6v_1 - 18v_2 = 0 $, que simplifica para $ v_1 = 3v_2 $.
Escolhendo $ v_2 = 1 $, temos o autovetor $ \mathbf{v} = (A + 3I)v = 0 $.

Passo 6

Como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um autovetor generalizado para obter a solução completa. Resolvemos $ (A + 3I)\mathbf{w} = \mathbf{v} $:
(A + 3I)w = v
Isso resulta em:
(cc 6 & -18 2 & -6 ) w = 3 1
Simplificando, obtemos $ w_1 = \frac{1 + 6w_2}{2} $. Escolhendo $ w_2 = 0 $, temos $ w_1 = \frac{1}{2} $. Portanto, o autovetor generalizado é $ \mathbf{w} = 6w1 - 18w2 = 3 e 2w1 - 6w2 = 1 $.

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores e autovetores encontrados:
X(t) = c1 e^-3t 3 1 + c2 e^-3t ( 12 0 + t 3 1 )
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 e^-3t 3 1 + c2 e^-3t ( 12 0 + t 3 1 )
onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados