Encontre a solução do sistema dado
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
Esse exercício está relacionado ao estudo de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes, que nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante da matriz $ A - \lambda I $ e igualamos a zero:
Onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Simplificando:
Igualando a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o autovalor é $ \lambda = -3 $ com multiplicidade 2.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a $ \lambda = -3 $. Resolvemos $ (A + 3I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso nos leva à equação $ 6v_1 - 18v_2 = 0 $, que simplifica para $ v_1 = 3v_2 $.
Escolhendo $ v_2 = 1 $, temos o autovetor $ \mathbf{v} =
$.
Passo 6
Como o autovalor tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um autovetor generalizado para obter a solução completa. Resolvemos $ (A + 3I)\mathbf{w} = \mathbf{v} $:
Isso resulta em:
Simplificando, obtemos $ w_1 = \frac{1 + 6w_2}{2} $. Escolhendo $ w_2 = 0 $, temos $ w_1 = \frac{1}{2} $. Portanto, o autovetor generalizado é $ \mathbf{w} =
$.
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores e autovetores encontrados:
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.