Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se o sistema
é invertível ou não, e caso seja, achar o sistema inverso. Isso é um tópico de Teoria de Sistemas, mais especificamente sobre “invertibilidade de sistemas”. Pra resolver, precisamos entender o conceito de invertibilidade: um sistema é invertível se cada saída vem de uma única entrada, ou seja, se entradas diferentes sempre geram saídas diferentes.
Passo 2
Aplicando a definição: suponha que existam duas funções de entrada
e
tais que suas saídas sejam iguais:
Isso implica
Passo 3
Se a derivada de
é zero em todo
, então
onde
Logo, mesmo que as saídas sejam iguais, as entradas podem ser diferentes (basta mudar
). Isso mostra que o sistema não estabelece uma correspondência única entrada→saída.
Resposta
O sistema
não é invertível, pois duas entradas que diferem por uma constante geram a mesma saída.