Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
d) y(t)=dd t x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se o sistema
y(t)=ddtx(t)
é invertível ou não, e caso seja, achar o sistema inverso. Isso é um tópico de Teoria de Sistemas, mais especificamente sobre “invertibilidade de sistemas”. Pra resolver, precisamos entender o conceito de invertibilidade: um sistema é invertível se cada saída vem de uma única entrada, ou seja, se entradas diferentes sempre geram saídas diferentes.

Passo 2

Aplicando a definição: suponha que existam duas funções de entrada ddtx1(t);=;ddtx2(t)forall t e ddtl[x1(t)-x2(t)r]=0forall t tais que suas saídas sejam iguais:

Isso implica

Passo 3

Se a derivada de x1(t)-x2(t)=C, é zero em todo x1(t)=x2(t)+C, então

onde é uma constante (ler sobre “funções cuja derivada é zero”). Ou seja, e diferem por uma constante:
Logo, mesmo que as saídas sejam iguais, as entradas podem ser diferentes (basta mudar ). Isso mostra que o sistema não estabelece uma correspondência única entrada→saída.

Resposta

O sistema não é invertível, pois duas entradas que diferem por uma constante geram a mesma saída.

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