Uma corretora de imóveis possui dados sobre 4 apartamentos, considerando sua Área em metros quadrados \left(\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\right) e seu Preço de Venda em milhares de reais (R$ mil), como mostra a tabela abaixo.
Imóvel Área (m2) Preço (R$ mil)
A 50 300
B 75 450
C 60 320
D 120 700
a) Quantas e quais observações e dimensões têm-se?
b) Use a fórmula de combinação para dizer quantas distâncias têm-se.
c) Utilize a Distância Euclidiana Padronizada para encontrar todas as distâncias.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com dados de 4 imóveis, cada um com duas medidas: Área em \left(\mathrm{m}^2\right) e Preço em milhares de reais (R$ mil). As observações são:
\begin{array}{lcc} \text{Imóvel} & \text{Área (m}^2\text{)} & \text{Preço (R\$ mil)}\\hline A & 50 & 300\\\ B & 75 & 450\\\ C & 60 & 320\\\ D & 120 & 700 \end{array}óÁç
O enunciado pede:
  • (a) Quantas observações e dimensões há e quais são;
  • (b) Quantas distâncias existem (usar fórmula de combinação);
  • (c) Calcular todas as distâncias usando a Distância Euclidiana Padronizada.

Passo 2

Resposta da letra (a): identificar claramente as observações e dimensões. Temos 4 observações (os imóveis A,B,C,D) e 2 dimensões (as variáveis) que são: Área e Preço.

Passo 3

Resposta da letra (b): quantas distâncias par a par existem entre n observações? Usamos a fórmula de combinação para pares:
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Com n=4,
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6.
Logo existem 6 distâncias distintas entre pares de observações.

Passo 4

Explicação do método para a letra (c) — o que é a Distância Euclidiana Padronizada e por que usamos padronização.
  • A padronização (z-score) transforma cada variável para média zero e desvio padrão 1. Para uma variável X com média \bar{X} e desvio padrão s_X (usarei o desvio padrão amostral, divisão por n-1, que é o procedimento estatístico comum quando temos uma amostra), o score padronizado de uma observação x é
z=\frac{x-\bar{X}}{s_X}.
Aqui:
  • x é o valor da variável para um imóvel;
  • \bar{X} é a média da variável entre os n imóveis;
  • s_X é o desvio padrão amostral, calculado por
s_X=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2}.
  • A Distância Euclidiana Padronizada entre duas observações i e j em duas variáveis padronizadas (Área padronizada z^{(A)} e Preço padronizado z^{(P)}) é a distância Euclidiana usual aplicada aos z-scores:
d_{ij}=\sqrt{\bigl(z^{(A)}_i-z^{(A)}_j\bigr)^2+\bigl(z^{(P)}_i-z^{(P)}_j\bigr)^2}.
Padronizamos porque Área e Preço têm unidades e escalas diferentes; sem padronizar, a variável com escala maior (Preço) dominaria a distância.

Passo 5

Calcular as médias de cada variável (passo a passo).
  • Média da Área:
\bar{X}_{\text{Área}}=\frac{50+75+60+120}{4}=\frac{305}{4}=76{,}25\\ \text{m}^2.Á
  • Média do Preço:
\bar{X}_{\text{Preço}}=\frac{300+450+320+700}{4}=\frac{1770}{4}=442{,}5\\ \text{(R\$ mil)}.ç

Passo 6

Calcular as variâncias amostrais e os desvios padrão amostrais (mostrar soma dos quadrados):
  • Para Área: calcular as diferenças, quadrados e somar.
\begin{array}{lcl} 50-76{,}25=-26{,}25 &\Rightarrow& (-26{,}25)^2=689{,}0625,\\\\ 75-76{,}25=-1{,}25 &\Rightarrow& (-1{,}25)^2=1{,}5625,\\\\ 60-76{,}25=-16{,}25 &\Rightarrow& (-16{,}25)^2=264{,}0625,\\\\ 120-76{,}25=43{,}75 &\Rightarrow& (43{,}75)^2=1914{,}0625. \end{array}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{X})^2=689{,}0625+1{,}5625+264{,}0625+1914{,}0625=2868{,}75.
Variância amostral:
s_{\text{Área}}^2=\frac{2868{,}75}{n-1}=\frac{2868{,}75}{3}=956{,}25.Á
Desvio padrão amostral:
s_{\text{Área}}=\sqrt{956{,}25}\approx 30{,}926.Á
  • Para Preço:
\begin{array}{lcl} 300-442{,}5=-142{,}5 &\Rightarrow& (-142{,}5)^2=20306{,}25,\\\\ 450-442{,}5=7{,}5 &\Rightarrow& 7{,}5^2=56{,}25,\\\\ 320-442{,}5=-122{,}5 &\Rightarrow& (-122{,}5)^2=15006{,}25,\\\\ 700-442{,}5=257{,}5 &\Rightarrow& 257{,}5^2=66306{,}25. \end{array}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{X})^2=20306{,}25+56{,}25+15006{,}25+66306{,}25=101675.
Variância amostral:
s_{\text{Preço}}^2=\frac{101675}{3}=33891{,}6667.ç
Desvio padrão amostral:
s_{\text{Preço}}=\sqrt{33891{,}6667}\approx 184{,}097.ç

Passo 7

Calcular os z-scores (padronizados) para cada imóvel em cada variável. Fórmula usada:
z=\frac{x-\bar{X}}{s}.
  • Para Área ( s_{\text{Área}}\approx30{,}926Á):
\begin{array}{lcl} z^{(A)}_A=\dfrac{50-76{,}25}{30{,}926}\approx -0{,}8489,\\[4pt] z^{(A)}_B=\dfrac{75-76{,}25}{30{,}926}\approx -0{,}0404,\\[4pt] z^{(A)}_C=\dfrac{60-76{,}25}{30{,}926}\approx -0{,}5256,\\[4pt] z^{(A)}_D=\dfrac{120-76{,}25}{30{,}926}\approx 1{,}4159. \end{array}
  • Para Preço ( s_{\text{Preço}}\approx184{,}097ç):
\begin{array}{lcl} z^{(P)}_A=\dfrac{300-442{,}5}{184{,}097}\approx -0{,}7744,\\[4pt] z^{(P)}_B=\dfrac{450-442{,}5}{184{,}097}\approx 0{,}0408,\\[4pt] z^{(P)}_C=\dfrac{320-442{,}5}{184{,}097}\approx -0{,}6655,\\[4pt] z^{(P)}_D=\dfrac{700-442{,}5}{184{,}097}\approx 1{,}3989. \end{array}
Resumo (tabela dos z-scores aproximados):
\begin{array}{lrr} \text{Imóvel} & z^{(A)} & z^{(P)}\\hline A & -0{,}8489 & -0{,}7744\\\ B & -0{,}0404 & 0{,}0408\\\ C & -0{,}5256 & -0{,}6655\\\ D & 1{,}4159 & 1{,}3989 \end{array}ó]

Passo 8

Calcular todas as 6 distâncias padronizadas entre pares usando
d_{ij}=\sqrt{\bigl(z^{(A)}_i-z^{(A)}_j\bigr)^2+\bigl(z^{(P)}_i-z^{(P)}_j\bigr)^2}.
Vou calcular cada par mostrando as diferenças, quadrados e a raiz.
  1. Par A B:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}8489-(-0{,}0404)=-0{,}8085,\quad (\Delta z^{(A)})^2=0{,}6537,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = -0{,}7744-0{,}0408=-0{,}8152,\quad (\Delta z^{(P)})^2=0{,}6645,\\[4pt] d_{AB}=\sqrt{0{,}6537+0{,}6645}=\sqrt{1{,}3182}\approx 1{,}149. \end{array}
  1. Par A C:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}8489-(-0{,}5256)=-0{,}3233,\quad (\Delta z^{(A)})^2=0{,}1045,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = -0{,}7744-(-0{,}6655)=-0{,}1089,\quad (\Delta z^{(P)})^2=0{,}0119,\\[4pt] d_{AC}=\sqrt{0{,}1045+0{,}0119}=\sqrt{0{,}1164}\approx 0{,}341. \end{array}
  1. Par A D:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}8489-1{,}4159=-2{,}2648,\quad (\Delta z^{(A)})^2=5{,}1284,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = -0{,}7744-1{,}3989=-2{,}1733,\quad (\Delta z^{(P)})^2=4{,}7232,\\[4pt] d_{AD}=\sqrt{5{,}1284+4{,}7232}=\sqrt{9{,}8516}\approx 3{,}139. \end{array}
  1. Par B C:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}0404-(-0{,}5256)=0{,}4852,\quad (\Delta z^{(A)})^2=0{,}2354,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = 0{,}0408-(-0{,}6655)=0{,}7063,\quad (\Delta z^{(P)})^2=0{,}4988,\\[4pt] d_{BC}=\sqrt{0{,}2354+0{,}4988}=\sqrt{0{,}7342}\approx 0{,}857. \end{array}
  1. Par B D:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}0404-1{,}4159=-1{,}4563,\quad (\Delta z^{(A)})^2=2{,}1219,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = 0{,}0408-1{,}3989=-1{,}3581,\quad (\Delta z^{(P)})^2=1{,}8446,\\[4pt] d_{BD}=\sqrt{2{,}1219+1{,}8446}=\sqrt{3{,}9665}\approx 1{,}992. \end{array}
  1. Par C D:
\begin{array}{l} \Delta z^{(A)} = -0{,}5256-1{,}4159=-1{,}9415,\quad (\Delta z^{(A)})^2=3{,}7694,\\[4pt] \Delta z^{(P)} = -0{,}6655-1{,}3989=-2{,}0644,\quad (\Delta z^{(P)})^2=4{,}2638,\\[4pt] d_{CD}=\sqrt{3{,}7694+4{,}2638}=\sqrt{8{,}0332}\approx 2{,}835. \end{array}
Observação: os valores numéricos estão arredondados; os cálculos mostram o procedimento completo para obter cada distância.]

Passo 9

Interpretação rápida (rápida e motivadora): as menores distâncias são entre A e C ( \approx0{,}341) e entre B e C ( \approx0{,}857), o que indica maior semelhança padronizada entre esses pares; o par mais distante é A D ( \approx3{,}139), indicando que D é bem diferente de A quando consideramos Área e Preço padronizados.

Resposta

(a) 4 observações; 2 dimensões (Área e Preço).
(b) \displaystyle \binom{4}{2}=6 distâncias.
(c) Distâncias Euclidianas Padronizadas (pares e valores aproximados):
A–B: 1{,}149
A–C: 0{,}341
A–D: 3{,}139
B–C: 0{,}857
B–D: 1{,}992
C–D: 2{,}835

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