No ano passado, um total de \mathrm{R} \ 600 \mathrm{mil}$ foi investido em duas empresas, A e B, sendo parte investida no primeiro semestre e parte investida no segundo semestre. No primeiro semestre, a empresa A recebeu três quintos da parte do investimento anual feito nela, e a empresa B recebeu dois terços da parte do investimento anual feito nela.
Se, no primeiro semestre, a soma dos investimentos feitos nessas empresas foi igual a R$ 376 mil, então o investimento feito na empresa A, no segundo semestre, foi igual a
A) \mathrm{R} \ 80 \mathrm{mil} . B) \(\mathrm{R} \\) 144 \mathrm{mil}.
C) \mathrm{R} \ 160 \mathrm{mil} . D) \(\mathrm{R} \\) 216 \mathrm{mil}.
E) \mathrm{R} \ 360 \mathrm{mil}$.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.\n
  • Foi investido um total de \mathrm{R}\$ 600\\ \mathrm{mil} em duas empresas, A e B, no ano todo.\n
  • No primeiro semestre, a empresa A recebeu \frac{3}{5} da parte anual que lhe foi destinada (ou seja, \frac{3}{5} do que foi investido em A no ano).\n
  • No primeiro semestre, a empresa B recebeu \frac{2}{3} da parte anual que lhe foi destinada (ou seja, \frac{2}{3} do que foi investido em B no ano).\n
  • A soma dos investimentos feitos nas duas empresas no primeiro semestre foi \mathrm{R}\$ 376\\ \mathrm{mil}.\n
    O que o problema pergunta: qual foi o investimento feito na empresa A, no segundo semestre? (ou seja, quanto da parte anual de A ficou para o segundo semestre).

Passo 2

Vamos introduzir variáveis para traduzir o enunciado em equações (isso é padrão para resolver problemas com partes e percentagens).\n
  • Seja a o valor total investido em A durante o ano, em milhares de reais (ou seja, a representa quantos “mil” de reais foram investidos em A). Então a está em unidades de “mil”.\n
  • Seja b o valor total investido em B durante o ano, em milhares de reais.\n
    A partir disso temos imediatamente a equação do total anual:
a + b = 600
porque 600 representa \mathrm{R}\$ 600\\ \mathrm{mil} no mesmo sistema de unidades.

Passo 3

Agora traduzimos a informação do primeiro semestre em equação.\n
  • No primeiro semestre A recebeu \frac{3}{5} de a, ou seja \frac{3}{5}a.\n
  • No primeiro semestre B recebeu \frac{2}{3} de b, ou seja \frac{2}{3}b.\n
    A soma desses dois valores do primeiro semestre é \mathrm{R}\$ 376\\ \mathrm{mil}, ou seja 376 na nossa unidade “mil”. Portanto a equação é
\frac{3}{5}a + \frac{2}{3}b = 376.
Aqui é importante entender o que fazermos: cada fração significa “parte da quantidade anual”. Por exemplo, \frac{3}{5}a significa multiplicar o total anual de A por \frac{3}{5} para obter quanto foi aplicado no primeiro semestre.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} a + b = 600,\\[4pt] \frac{3}{5}a + \frac{2}{3}b = 376. \end{cases}
Para facilitar as contas, eliminamos denominadores na segunda equação multiplicando ambos os lados por 15 (o mínimo múltiplo comum de 5 e 3). Isso evita trabalhar com frações no processo algébrico. Multiplicando:
15\left(\frac{3}{5}a + \frac{2}{3}b\right) = 15\cdot 376.
Calculando cada termo: 15\cdot\frac{3}{5}a = 9a e 15\cdot\frac{2}{3}b = 10b. Do lado direito, 15\cdot 376 = 376\cdot(10+5)=3760+1880=5640. Assim obtemos
9a + 10b = 5640.]

Passo 5

Agora usamos o método de eliminação para encontrar b.\n
Já temos a+b=600. Multiplicamos essa equação por 9 para igualar o coeficiente de a com a outra equação:
9(a+b)=9\cdot 600 \quad\Longrightarrow\quad 9a + 9b = 5400.
Subtraindo essa equação da equação obtida no Passo 4 ( 9a+10b=5640) eliminamos a:
(9a+10b) - (9a+9b) = 5640 - 5400 \quad\Longrightarrow\quad b = 240.
Portanto b = 240 (isto é, \mathrm{R}\$ 240\\ \mathrm{mil} investidos em B no ano).

Passo 6

Com b encontrado, voltamos à primeira equação para achar a:
a + b = 600 \quad\Longrightarrow\quad a = 600 - b = 600 - 240 = 360.
Logo a = 360 (ou seja, \mathrm{R}\$ 360\\ \mathrm{mil} foi o total investido em A durante o ano).

Passo 7

Queremos o investimento em A no segundo semestre. A parte do ano que ficou para o segundo semestre é o complemento de \frac{3}{5}, ou seja:
1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.
Portanto o valor investido em A no segundo semestre é \frac{2}{5} de a:
\text{segundo semestre em A} = \frac{2}{5}a.
Substituindo a=360:
\frac{2}{5}\cdot 360.
Calculemos: 360\div 5 = 72 e 72\cdot 2 = 144. Então o investimento em A no segundo semestre foi \mathrm{R}\$ 144\\ \mathrm{mil}.

Resposta

B) \mathrm{R}\$ 144\\ \mathrm{mil}

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