No ano passado, um total de
600 \mathrm{mil}$ foi investido em duas empresas, A e B, sendo parte investida no primeiro semestre e parte investida no segundo semestre. No primeiro semestre, a empresa A recebeu três quintos da parte do investimento anual feito nela, e a empresa B recebeu dois terços da parte do investimento anual feito nela.
Se, no primeiro semestre, a soma dos investimentos feitos nessas empresas foi igual a R$ 376 mil, então o investimento feito na empresa A, no segundo semestre, foi igual a
A)
80 \mathrm{mil}
.
C)
160 \mathrm{mil}
.
E)
360 \mathrm{mil}$.
A)
C)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.\n
- Foi investido um total de
em duas empresas, A e B, no ano todo.\n - No primeiro semestre, a empresa A recebeu
da parte anual que lhe foi destinada (ou seja, do que foi investido em A no ano).\n - No primeiro semestre, a empresa B recebeu
da parte anual que lhe foi destinada (ou seja, do que foi investido em B no ano).\n - A soma dos investimentos feitos nas duas empresas no primeiro semestre foi
.\n
O que o problema pergunta: qual foi o investimento feito na empresa A, no segundo semestre? (ou seja, quanto da parte anual de A ficou para o segundo semestre).
Passo 2
Vamos introduzir variáveis para traduzir o enunciado em equações (isso é padrão para resolver problemas com partes e percentagens).\n
- Seja
o valor total investido em A durante o ano, em milhares de reais (ou seja, representa quantos “mil” de reais foram investidos em A). Então está em unidades de “mil”.\n - Seja
o valor total investido em B durante o ano, em milhares de reais.\n
A partir disso temos imediatamente a equação do total anual:
porque
representa
no mesmo sistema de unidades.
Passo 3
Agora traduzimos a informação do primeiro semestre em equação.\n
- No primeiro semestre A recebeu
de , ou seja .\n - No primeiro semestre B recebeu
de , ou seja .\n
A soma desses dois valores do primeiro semestre é, ou seja na nossa unidade “mil”. Portanto a equação é
Aqui é importante entender o que fazermos: cada fração significa “parte da quantidade anual”. Por exemplo,
significa multiplicar o total anual de A por
para obter quanto foi aplicado no primeiro semestre.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de duas equações lineares:
Para facilitar as contas, eliminamos denominadores na segunda equação multiplicando ambos os lados por
(o mínimo múltiplo comum de
e
). Isso evita trabalhar com frações no processo algébrico. Multiplicando:
Calculando cada termo:
e
. Do lado direito,
. Assim obtemos
Passo 5
Agora usamos o método de eliminação para encontrar
.\n
Já temos . Multiplicamos essa equação por
para igualar o coeficiente de
com a outra equação:
Já temos
Subtraindo essa equação da equação obtida no Passo 4 (
) eliminamos
:
Portanto
(isto é,
investidos em B no ano).
Passo 6
Com
encontrado, voltamos à primeira equação para achar
:
Logo
(ou seja,
foi o total investido em A durante o ano).
Passo 7
Queremos o investimento em A no segundo semestre. A parte do ano que ficou para o segundo semestre é o complemento de
, ou seja:
Portanto o valor investido em A no segundo semestre é
de
:
Substituindo
:
Calculemos:
e
. Então o investimento em A no segundo semestre foi
.
Resposta
B)