Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
x = 2y^2 ; x + y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas e e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando e ao mesmo tempo. Vamos igualar as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Com os valores de , vamos encontrar os respectivos valores de usando :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos esboçar as curvas. A parábola abre para a direita, e a reta tem inclinação negativa. A região limitada fica entre e .

Passo 6

Para encontrar a área, vamos integrar a diferença entre as funções que limitam a região. Precisamos expressar em função de :
A reta:
A parábola:
A área é dada por:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, substituímos os limites:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é aproximadamente unidades de área.

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