Se \cos \alpha=\frac{3}{5} e \cos \beta=\frac{5}{13}, com \alpha e \beta no primeiro quadrante, calcule \cos (\alpha+\beta).

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. Informações fornecidas:
  • \cos \alpha=\dfrac{3}{5}.
  • \cos \beta=\dfrac{5}{13}.
  • Diz que \alpha e \beta estão no primeiro quadrante (ou seja, ângulos entre 0 e \tfrac{\pi}{2}).
O que o problema pede:
  • Calcular \cos(\alpha+\beta).

Passo 2

Vamos usar a fórmula para o cosseno da soma de dois ângulos. A identidade é:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Explicando as letras: \cos\alpha é o cosseno do ângulo \alpha, \sin\alpha é o seno de \alpha, e o mesmo para \beta. A fórmula diz que o cosseno da soma é a diferença entre o produto dos cossenos e o produto dos senos.

Passo 3

Para usar a identidade precisamos de \sin\alpha e \sin\beta. Podemos obtê-los a partir das cossenos usando a identidade pitagórica:
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,
ou seja
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta},
quando \theta está no primeiro quadrante (o seno é positivo nesse caso). Aplicando para \alpha:
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}.
Aqui foi usado que \alpha está no primeiro quadrante, então escolhemos a raiz positiva.

Passo 4

Agora \beta:
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13},
novamente raiz positiva porque \beta está no primeiro quadrante.

Passo 5

Substituindo \cos\alpha, \cos\beta, \sin\alpha e \sin\beta na fórmula da soma:
\cos(\alpha+\beta)=\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{5}{13}\right)-\left(\dfrac{4}{5}\right)\left(\dfrac{12}{13}\right).
Calcule os produtos separadamente:
\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{5}{13}\right)=\dfrac{15}{65}, \qquad \left(\dfrac{4}{5}\right)\left(\dfrac{12}{13}\right)=\dfrac{48}{65}.

Passo 6

Fazendo a diferença com denominador comum 65:
\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{15}{65}-\dfrac{48}{65}=\dfrac{15-48}{65}.
O numerador fica 15-48.

Resposta

-\dfrac{33}{65}

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