Explicando rapidinho: é só somar o mesmo ângulo duas vezes na fórmula de adição; por isso aparece o fator 2.
Passo 3
Precisamos do valor de \cos x. Usamos a identidade pitagórica entre seno e cosseno:
\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1.
Aqui \operatorname{sen}^2 x significa (\operatorname{sen}x)^2 e \cos^2 x significa (\cos x)^2. Essa identidade vem da definição no círculo unitário, onde as coordenadas do ponto são (\cos x,\operatorname{sen}x) e a soma dos quadrados vale 1.
Substituindo \operatorname{sen}x=\dfrac{3}{5}:
\cos^2 x = 1-\operatorname{sen}^2 x = 1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
Logo
\cos x = \pm \dfrac{4}{5}.
Para decidir o sinal, usamos a informação 0<x<\dfrac{\pi}{2}. Nesse intervalo (primeiro quadrante) tanto seno quanto cosseno são positivos. Portanto escolhemos o sinal positivo:
\cos x = \dfrac{4}{5}.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do ângulo duplo \operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen}x\cos x com os valores encontrados.
Substituindo \operatorname{sen}x=\dfrac{3}{5} e \cos x=\dfrac{4}{5}:
Interpretação e checagem rápida: o resultado \dfrac{24}{25} está dentro do intervalo [-1,1], como deve ser um seno. Também é positivo, condizente com 2x estar no intervalo (0,\pi) quando x\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ou seja, seno positivo para 2x até \pi).