Simplifique
utilizando transformação de soma em produto.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos.
Pede-se simplificar a expressão
Pede-se simplificar a expressão
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre uma diferença de cossenos no numerador e uma diferença entre seno e cosseno no denominador.
- O enunciado manda usar transformação de soma em produto (as fórmulas “soma para produto”).
Passo 2
Lembrete e aplicação da fórmula “diferença de cossenos” (soma→produto).
Fórmula geral (explicando cada símbolo): para quaisquer ângulos e
,
Fórmula geral (explicando cada símbolo): para quaisquer ângulos
onde
e
são as funções seno e cosseno, e
são as médias/semidiferenças dos ângulos. Essa fórmula transforma uma diferença de cossenos em produto de senos — útil para fatorar.
Aplicando com
e
:
Expliquei o passo: somei
e
, depois dividi por 2.
Passo 3
Transformação do denominador usando soma→produto.
O denominador é . Para aplicar uma fórmula de soma→produto precisamos de uma diferença entre senos (ou entre cossenos). Podemos transformar
em seno deslocado por
, pois
. Assim
O denominador é
Agora usamos a fórmula “diferença de senos” (explicando): para quaisquer
,
Aplicando com
e
:
Calculemos os meios:
Portanto
Passo 4
Substituir as formas produto no quociente e simplificar fatores comuns.
Usando os resultados dos passos anteriores:
Usando os resultados dos passos anteriores:
Podemos cancelar o fator
em numerador e denominador:
Esse é o resultado obtido usando transformação de soma em produto. Pode-se parar aqui (é uma forma em produtos de senos e cossenos), ou tentar manipular mais usando fórmulas de soma de ângulos para obter formas alternativas — mas a transformação pedida já foi aplicada e a expressão ficou fatorada em produtos trigonométricos, o que costuma ser o objetivo de “simplificar” por soma→produto.