Simplifique \frac{\cos (2 x)-\cos x}{\operatorname{sen}(2 x)-\cos x} utilizando transformação de soma em produto.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos.
Pede-se simplificar a expressão
\frac{\cos(2x)-\cos x}{\operatorname{sen}(2x)-\cos x}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre uma diferença de cossenos no numerador e uma diferença entre seno e cosseno no denominador.
  • O enunciado manda usar transformação de soma em produto (as fórmulas “soma para produto”).

Passo 2

Lembrete e aplicação da fórmula “diferença de cossenos” (soma→produto).
Fórmula geral (explicando cada símbolo): para quaisquer ângulos A e B,
\cos A - \cos B = -2\,\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right),
onde \sin e \cos são as funções seno e cosseno, e \tfrac{A\pm B}{2} são as médias/semidiferenças dos ângulos. Essa fórmula transforma uma diferença de cossenos em produto de senos — útil para fatorar.
Aplicando com A=2x e B=x:
\cos(2x)-\cos x = -2\,\sin\!\left(\frac{2x+x}{2}\right)\sin\!\left(\frac{2x-x}{2}\right) = -2\,\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Expliquei o passo: somei A+B=3x e A-B=x, depois dividi por 2.

Passo 3

Transformação do denominador usando soma→produto.
O denominador é \operatorname{sen}(2x)-\cos x. Para aplicar uma fórmula de soma→produto precisamos de uma diferença entre senos (ou entre cossenos). Podemos transformar \cos x em seno deslocado por \pi/2, pois \cos x=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right). Assim
\operatorname{sen}(2x)-\cos x = \operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right).
Agora usamos a fórmula “diferença de senos” (explicando): para quaisquer U,V,
\operatorname{sen}U-\operatorname{sen}V = 2\cos\!\left(\frac{U+V}{2}\right)\sin\!\left(\frac{U-V}{2}\right).
Aplicando com U=2x e V=\tfrac{\pi}{2}-x:
\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right) =2\cos\!\left(\frac{2x+\tfrac{\pi}{2}-x}{2}\right)\sin\!\left(\frac{2x-\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)}{2}\right).
Calculemos os meios:
\frac{2x+\tfrac{\pi}{2}-x}{2}=\frac{x+\tfrac{\pi}{2}}{2}=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}, \qquad \frac{2x-\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)}{2}=\frac{3x-\tfrac{\pi}{2}}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}.
Portanto
\operatorname{sen}(2x)-\cos x =2\cos\!\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Substituir as formas produto no quociente e simplificar fatores comuns.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\cos(2x)-\cos x}{\operatorname{sen}(2x)-\cos x} = \frac{-2\,\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)} {2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\right)}.
Podemos cancelar o fator 2 em numerador e denominador:
= -\,\frac{\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)} {\cos\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\right)}.
Esse é o resultado obtido usando transformação de soma em produto. Pode-se parar aqui (é uma forma em produtos de senos e cossenos), ou tentar manipular mais usando fórmulas de soma de ângulos para obter formas alternativas — mas a transformação pedida já foi aplicada e a expressão ficou fatorada em produtos trigonométricos, o que costuma ser o objetivo de “simplificar” por soma→produto.

Resposta

-\,\dfrac{\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\tfrac{3x}{2}-\tfrac{\pi}{4}\right)}

Exercícios relacionados