Se ω=cos \left(\frac{2 π}{3}\right)+i sin \left(\frac{2 π}{3}\right), calcule:
\left|\begin{array}{rcr}1+2 ω^{100}+ω^{200} & ω^{2} & 1 \\\ 1 & 1+ω^{100}+2 ω^{200} & ω \\ω & ω^{2} & 2+ω^{100}+ω^{200}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 3\times3 cujos elementos são definidos em função de \omega = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr). Reconhecemos que \omega é raiz primitiva de unidade de ordem 3, isto é, \omega^3=1 e 1+\omega+\omega^2=0. Vamos usar essas propriedades para simplificar os elementos da matriz.

Passo 2

Como \omega^3=1, temos
100 \bmod 3 = 1 \quad\text{e}\quad 200 \bmod 3 = 2,
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\omega^{100} = \omega^1 = \omega, \quad \omega^{200} = \omega^2.

Passo 3

Substituindo \omega^{100}=\omega e \omega^{200}=\omega^2 nos elementos diagonais, obtém-se:
1+2\omega^{100}+\omega^{200} =1+2\omega+\omega^2 =(1+\omega+\omega^2)+\omega =0+\omega =\omega,
1+\omega^{100}+2\omega^{200} =1+\omega+2\omega^2 =(1+\omega+\omega^2)+\omega^2 =0+\omega^2 =\omega^2,
2+\omega^{100}+\omega^{200} =2+\omega+\omega^2 =(1+\omega+\omega^2)+1 =0+1 =1.
Assim a matriz vira
\begin{pmatrix} \omega & \omega^2 & 1\\\\ 1 & \omega^2 & \omega\\\ \omega & \omega^2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Observamos que a primeira e a terceira linhas dessa matriz são idênticas: \bigl[\omega,\;\omega^2,\;1\bigr].
Quando uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é zero.

Resposta

0

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