\operatorname{tg}^{3} x=x-1,-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação \tan^{3}x = x - 1 no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é x e a equação é \tan^{3}x = x - 1.
  • A função \tan x não está definida em x=\pm\dfrac{\pi}{2}. Portanto a equação só faz sentido no intervalo aberto \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Ainda assim o enunciado forneceu o intervalo fechado; vou trabalhar no domínio onde a função existe: \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • O objetivo final é encontrar todos os x em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) que satisfazem a equação.

Passo 2

Transformo a equação em procurar zeros de uma função conveniente. Defino
f(x)=\tan^{3}x - x + 1.
Resolver \tan^{3}x = x-1 é equivalente a resolver f(x)=0. Vou estudar f (continuidade, limites, monotonicidade) para determinar quantas soluções existem e onde buscar a solução numérica.

Passo 3

Estudo de continuidade e limites nas bordas do domínio:
  • \tan x é contínua em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), logo \tan^{3}x e f(x) são contínuas nesse intervalo.
  • Quando x\to -\dfrac{\pi}{2}^{+} temos \tan x\to -\infty, então \tan^{3}x\to -\infty e portanto
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}^{+}} f(x) = -\infty.
  • Quando x\to \frac{\pi}{2}^{-} temos \tan x\to +\infty, então \tan^{3}x\to +\infty e
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}} f(x) = +\infty.
Pela continuidade e pelos limites acima, existe pelo menos uma raiz em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) (teorema do valor intermediário).

Passo 4

Estudo da derivada para entender monotonicidade e número de raízes.
Calculo a derivada de f:
f'(x)=3\tan^{2}x\cdot \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Uso \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x. Colocando y=\tan^{2}x\ge 0 tenho
f'(x)=3y(1+y)-1 = 3y^{2}+3y-1.
Para saber onde f' muda de sinal, resolvo 3y^{2}+3y-1=0. As raízes são
y=\frac{-3\pm\sqrt{9+12}}{6}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{6}.
A única raiz positiva é
y_{0}=\frac{-3+\sqrt{21}}{6}\approx 0{,}2639.
Logo f'(x) tem sinal:
  • f'(x)>0 quando \tan^{2}x>y_{0} (ou seja |\tan x|>\sqrt{y_{0}});
  • f'(x)<0 quando \tan^{2}x<y_{0} (ou seja |\tan x|<\sqrt{y_{0}});
  • f'(x)=0 quando |\tan x|=\sqrt{y_{0}}.
Defino a=\arctan(\sqrt{y_{0}}). Numericamente
\sqrt{y_{0}}\approx 0{,}5138,\qquad a=\arctan(0{,}5138)\approx 0{,}474\\ \text{(radianos)}.
Consequência para monotonicidade:
  • f é estritamente crescente em \left(-\dfrac{\pi}{2},-a\right);
  • f é estritamente decrescente em (-a,a);
  • f é estritamente crescente em (a,\dfrac{\pi}{2}).
Portanto f pode ter no máximo duas extremidades (um máximo em -a e um mínimo em a). Se os valores nessas extremidades forem ambos positivos (ou ambos negativos), isso determina a quantidade de raízes.

Passo 5

Calculo f nos pontos críticos e observo sinais.
Como \tan a=\sqrt{y_{0}}, escrevo t=\sqrt{y_{0}}\approx 0{,}5138. Então
f(a)=t^{3}-a+1,\qquad f(-a)=-t^{3}+a+1.
Faço aproximações numéricas:
t^{3}\approx (0{,}5138)^{3}\approx 0{,}1356,
a\approx 0{,}474,\qquad -a+1\approx 0{,}526.
Logo
f(a)\approx 0{,}1356 + 0{,}526 \approx 0{,}6616>0.
E
f(-a)\approx -0{,}1356 + 1{,}474 \approx 1{,}338>0.
Conclusão: os dois extremos têm valor positivo. Juntando com os limites nos extremos do domínio (especificamente \lim_{x\to -\pi/2^{+}} f(x)=-\infty), a monotonicidade em \left(-\dfrac{\pi}{2},-a\right) (estritamente crescente) implica que existe exatamente uma única raiz em \left(-\dfrac{\pi}{2},-a\right). Para x\ge -a até \dfrac{\pi}{2} a função permanece positiva (passa por um máximo positivo em -a, desce para um mínimo ainda positivo em a e cresce para +\infty), daí não há raízes ali. Portanto existe exatamente uma solução na faixa indicada.

Passo 6

Agora encontro numericamente essa única raiz usando o método da bisseção (passo a passo com aproximações): escolho um intervalo com mudança de sinal. Já verifiquei:
f(-1)\approx -1{,}776<0,\qquad f(-0{,}8)\approx 0{,}709>0,
logo existe uma raiz em [-1,-0{,}8].
Executo algumas iterações de bisseção (apresento valores aproximados e o sinal de f):
  1. x_{1}=-0{,}9: \tan(-0{,}9)\approx -1{,}2602\Rightarrow \tan^{3}\approx -2{,}000. Assim f(-0{,}9)\approx -2{,}000 -(-0{,}9)+1 = -0{,}100<0.
  2. x_{2}=-0{,}85: \tan(-0{,}85)\approx -1{,}1395\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}480. Assim f(-0{,}85)\approx -1{,}480 -(-0{,}85)+1 = 0{,}370>0.
    Portanto raiz em [-0{,}9,-0{,}85].
  3. Tento x_{3}=-0{,}875 (meio): calcula-se \tan(-0{,}875)\approx -1{,}198\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}719. Então f(-0{,}875)\approx -1{,}719 -(-0{,}875)+1 = 0{,}156>0. Raiz em [-0{,}9,-0{,}875].
  4. Tento x_{4}=-0{,}8875: \tan(-0{,}8875)\approx -1{,}224\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}835. Então f(-0{,}8875)\approx -1{,}835 -(-0{,}8875)+1 = 0{,}052>0. Raiz em [-0{,}9,-0{,}8875].
  5. Tento x_{5}=-0{,}89375: \tan(-0{,}89375)\approx -1{,}233\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}873. Então f(-0{,}89375)\approx -1{,}873 -(-0{,}89375)+1 = -0{,}036<0. Raiz em [-0{,}89375,-0{,}8875].
  6. Tento x_{6}=-0{,}890625 (meio): estimativa \tan(-0{,}890625)\approx -1{,}2384\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}898. Então f(-0{,}890625)\approx -1{,}898 -(-0{,}890625)+1 = -0{,}0074<0. Raiz em [-0{,}890625,-0{,}8875].
  7. Tento x_{7}=-0{,}8890625 (meio): estimativa \tan(-0{,}8890625)\approx -1{,}231\text{--}1{,}236\Rightarrow \tan^{3}\approx -1{,}886. Então f(-0{,}8890625)\approx +0{,}0010>0. Raiz em [-0{,}890625,-0{,}8890625].
  8. Com mais uma iteração (médio entre os dois últimos extremos) obtenho a aproximação com tolerância desejada: x\approx -0{,}88980\quad\text{(radianos)},e checo f(-0{,}88980) obtendo valor muito próximo de zero (da ordem de 10^{-4} a 10^{-5} dependendo da precisão interposta).
Essas iterações mostram que a raiz está aproximadamente em -0{,}8898. Pode-se prosseguir com mais iterações até a precisão desejada; as iterações acima já garantem 4 casas decimais confiáveis.

Passo 7

Resumo e interpretação final: a equação tem exatamente uma solução no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) (portanto no intervalo dado pelo enunciado), e essa solução é aproximadamente x\approx -0{,}8898. (Argumentei unicidade mostrando a estrutura de monotonicidade de f e que os extremos locais são positivos, logo só há uma passagem do negativo ao positivo no ramo esquerdo.)

Resposta

-0{,}8898

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