Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
no intervalo
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é
e a equação é . - A função
não está definida em . Portanto a equação só faz sentido no intervalo aberto . Ainda assim o enunciado forneceu o intervalo fechado; vou trabalhar no domínio onde a função existe: . - O objetivo final é encontrar todos os
em que satisfazem a equação.
Passo 2
Transformo a equação em procurar zeros de uma função conveniente. Defino
Resolver
é equivalente a resolver
. Vou estudar
(continuidade, limites, monotonicidade) para determinar quantas soluções existem e onde buscar a solução numérica.
Passo 3
Estudo de continuidade e limites nas bordas do domínio:
-
é contínua em , logo e são contínuas nesse intervalo. - Quando
temos , então e portanto
- Quando
temos , então e
Pela continuidade e pelos limites acima, existe pelo menos uma raiz em
(teorema do valor intermediário).
Passo 4
Estudo da derivada para entender monotonicidade e número de raízes.
Calculo a derivada de :
Calculo a derivada de
Uso
. Colocando
tenho
Para saber onde
muda de sinal, resolvo
. As raízes são
A única raiz positiva é
Logo
tem sinal:
-
quando (ou seja ); -
quando (ou seja ); -
quando .
Defino
. Numericamente
Consequência para monotonicidade:
-
é estritamente crescente em ; -
é estritamente decrescente em ; -
é estritamente crescente em .
Portanto
pode ter no máximo duas extremidades (um máximo em
e um mínimo em
). Se os valores nessas extremidades forem ambos positivos (ou ambos negativos), isso determina a quantidade de raízes.
Passo 5
Calculo
nos pontos críticos e observo sinais.
Como , escrevo
. Então
Como
Faço aproximações numéricas:
Logo
E
Conclusão: os dois extremos têm valor positivo. Juntando com os limites nos extremos do domínio (especificamente
), a monotonicidade em
(estritamente crescente) implica que existe exatamente uma única raiz em
. Para
até
a função permanece positiva (passa por um máximo positivo em
, desce para um mínimo ainda positivo em
e cresce para
), daí não há raízes ali. Portanto existe exatamente uma solução na faixa indicada.
Passo 6
Agora encontro numericamente essa única raiz usando o método da bisseção (passo a passo com aproximações): escolho um intervalo com mudança de sinal. Já verifiquei:
logo existe uma raiz em
.
Executo algumas iterações de bisseção (apresento valores aproximados e o sinal de
):
-
: . Assim . -
: . Assim .
Portanto raiz em. - Tento
(meio): calcula-se . Então . Raiz em . - Tento
: . Então . Raiz em . - Tento
: . Então . Raiz em . - Tento
(meio): estimativa . Então . Raiz em . - Tento
(meio): estimativa . Então . Raiz em . - Com mais uma iteração (médio entre os dois últimos extremos) obtenho a aproximação com tolerância desejada:
e checo obtendo valor muito próximo de zero (da ordem de a dependendo da precisão interposta).
Essas iterações mostram que a raiz está aproximadamente em
. Pode-se prosseguir com mais iterações até a precisão desejada; as iterações acima já garantem 4 casas decimais confiáveis.
Passo 7
Resumo e interpretação final: a equação tem exatamente uma solução no intervalo
(portanto no intervalo dado pelo enunciado), e essa solução é aproximadamente
. (Argumentei unicidade mostrando a estrutura de monotonicidade de
e que os extremos locais são positivos, logo só há uma passagem do negativo ao positivo no ramo esquerdo.)