Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações e o que se busca:
- Queremos encontrar o(s) valor(es) de
que satisfazem a equação acima. - A função
é a função arco-tangente (também escrita ), definida em todo e com imagem . - Não há restrição explícita de domínio no enunciado além do domínio natural da
, então procuramos soluções reais.
Passo 2
Defino a função auxiliar cujo zero corresponde à solução da equação:
O que significa cada termo:
-
é a arco-tangente do número . -
é o termo linear.
Queremos.
Explicando propriedades úteis (didática curta):
- A função
é contínua e estritamente crescente em todo . - Soma de funções contínuas é contínua, logo
é contínua. - Para localizar raízes, podemos usar teoremas simples: se
é contínua e muda de sinal em um intervalo , então existe pelo menos uma raiz em (Teorema do Valor Intermediário).
Passo 3
Mostro que existe exatamente uma solução (unicidade). Para isso calculo a derivada
e argumento monotonicidade:
Explicando: a derivada de
é
; aqui
e
.
Note que para todo
, então
Note que
Como a derivada é estritamente positiva em todo o domínio,
é estritamente crescente. Conclusão:
pode ter no máximo uma raiz. Portanto, se encontrarmos uma mudança de sinal em um intervalo, teremos exatamente uma raiz.
Passo 4
Procuro um intervalo onde
muda de sinal (existência). Calculo valores simples:
Como
e
e
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
. Pela monotonicidade vista no Passo 3 essa raiz é única.
Passo 5
Agora encontramos numericamente a raiz com precisão. Vou aplicar o método da bissecção (muito seguro em prova) até localizar a raiz com precisão razoável, e usar uma iteração de Newton para refinar — explico cada passo para que você repita na prova.
Defino
,
. Já sabemos
e
.
- Primeiro ponto médio:
.
Como
, a raiz está em
. Então tomamos
,
.
- Segundo ponto médio:
.
Agora
, então a raiz está em
. Tomamos
,
.
- Terceiro ponto médio:
.
Então raiz em
.
,
.
- Quarto ponto médio:
.
Raiz em
.
- Quinto ponto médio:
.
Raiz em
.
- Sexto ponto médio:
.
Raiz em
.
- Sétimo ponto médio:
.
Raiz em
.
Depois de algumas iterações já temos o intervalo
cujo comprimento é
. A raiz está dentro e podemos dar uma estimativa por bissecção ou refinar com Newton para obter mais casas rapidamente.
Passo 6
Refino por uma iteração de Newton (método rápido). Fórmula de Newton:
Escolho como
o ponto médio do último intervalo:
(médio de
e
), mas para simplicidade posso usar
(boa aproximação baseada nas iterações anteriores).
Calculo
e
:
Aplicando Newton:
Podemos ver que a correção é pequena; já temos boa precisão.
Passo 7
Verificação rápida: calcular
aproximadamente:
que é praticamente zero dentro de erro de arredondamento — confirma a solução encontrada.
Conclusão prática: existe uma única solução real e ela é aproximadamente
.