(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(a) Find
(b) Solve the equation explicitly for
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Temos a relação implicita
O enunciado pede três coisas:
- (a) Encontrar
diferenciando implicitamente em relação a . - (b) Resolver explicitamente a equação para
(isto é, escrever como função de ) e então diferenciar para obter em termos de . - (c) Verificar que as respostas de (a) e (b) são compatíveis, substituindo a expressão de
obtida em (b) na fórmula de de (a).
Informações relevantes dadas:
- A relação entre
e é . - Entendemos que
é uma função de , isto é, , então ao diferenciar devemos usar a regra da cadeia quando aparecer .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
- Derivada de
em relação a é . Ou seja,
- Se
é função de , a derivada de deve usar a regra da cadeia. Escrevemos . A derivada de em relação a é . Pela regra da cadeia,
- Derivada de uma constante (no nosso caso
) é .
Esses são os ingredientes para a diferenciação implícita.
Passo 3
Diferenciação implícita (resolvendo a parte (a)) com todos os passos.
Começamos diferenciando ambos os lados da igualdade
em relação a
:
Usando as regras do passo anterior:
Agora isolamos
. Primeiro passamos
para o outro lado:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Portanto a derivada implícita é
Passo 4
Resolver explicitamente para
(parte (b) — primeiro passo: isolar e elevar ao quadrado).
Da equação original
isolamos a raiz:
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para obter
:
Observação sobre o sinal:
é sempre não-negativa por definição; portanto ao isolar a raiz devemos manter
. Para consistência, note que
varia entre
e
, ou seja, é sempre positivo, então não há ambiguidade de sinal aqui — estamos usando a raiz positiva, o que é correto.
Passo 5
Diferenciar a expressão explícita para obter
em termos de
(continuação da parte (b)).
Temos
. Para derivar aplicamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
. Calculamos
não, com calma:
e
. Portanto
.
Aplicando a fórmula:
Assim obtemos
explicitamente em termos de
:
Passo 6
Verificação de consistência entre (a) e (b) (parte (c)) — substituir e checar.
Da parte (a) obtivemos
Da parte (b) temos
, portanto
usando a raiz positiva (justificação:
). Substituindo essa expressão em
da parte (a):
que é exatamente o resultado que obtivemos diferenciando a forma explícita. Logo as duas formas são consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(b)
(b)
(c) Substituindo
em (a) obtém-se
, portanto as respostas são compatíveis.