\cos x+\sqrt{y}=5
(a) Find y^{\prime} by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y^{\prime} in terms of x.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Temos a relação implicita
\cos x + \sqrt{y} = 5.
O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Encontrar y' diferenciando implicitamente em relação a x.
  2. (b) Resolver explicitamente a equação para y (isto é, escrever y como função de x) e então diferenciar para obter y' em termos de x.
  3. (c) Verificar que as respostas de (a) e (b) são compatíveis, substituindo a expressão de y obtida em (b) na fórmula de y' de (a).
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x e y é \cos x + \sqrt{y} = 5.
  • Entendemos que y é uma função de x, isto é, y=y(x), então ao diferenciar devemos usar a regra da cadeia quando aparecer y.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
  • Derivada de \cos x em relação a x é -\sin x. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
  • Se y é função de x, a derivada de \sqrt{y} deve usar a regra da cadeia. Escrevemos \sqrt{y}=y^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(y^{1/2}\big) = \frac{1}{2}y^{-1/2}\cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y'.
  • Derivada de uma constante (no nosso caso 5) é 0.
Esses são os ingredientes para a diferenciação implícita.

Passo 3

Diferenciação implícita (resolvendo a parte (a)) com todos os passos.
Começamos diferenciando ambos os lados da igualdade \cos x + \sqrt{y} = 5 em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) + \frac{d}{dx}\big(\sqrt{y}\big) = \frac{d}{dx}(5).
Usando as regras do passo anterior:
-\sin x + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0.
Agora isolamos y'. Primeiro passamos -\sin x para o outro lado:
\frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = \sin x.
Multiplicamos ambos os lados por 2\sqrt{y}:
y' = 2\sqrt{y}\,\sin x.
Portanto a derivada implícita é
y' = 2\sqrt{y}\,\sin x.

Passo 4

Resolver explicitamente para y (parte (b) — primeiro passo: isolar e elevar ao quadrado).
Da equação original \cos x + \sqrt{y} = 5 isolamos a raiz:
\sqrt{y} = 5 - \cos x.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para obter y:
y = \big(5 - \cos x\big)^2.
Observação sobre o sinal: \sqrt{y} é sempre não-negativa por definição; portanto ao isolar a raiz devemos manter \sqrt{y}=5-\cos x. Para consistência, note que 5-\cos x varia entre 5-1=4 e 5-(-1)=6, ou seja, é sempre positivo, então não há ambiguidade de sinal aqui — estamos usando a raiz positiva, o que é correto.

Passo 5

Diferenciar a expressão explícita para obter y' em termos de x (continuação da parte (b)).
Temos y = \big(5 - \cos x\big)^2. Para derivar aplicamos a regra da cadeia: se y = [g(x)]^2, então y' = 2 g(x)\cdot g'(x). Aqui g(x)=5-\cos x. Calculamos g'(x)= -(-\sin x)? não, com calma: \frac{d}{dx}(5)=0 e \frac{d}{dx}(-\cos x)= -(-\sin x)=\sin x. Portanto g'(x)=\sin x.
Aplicando a fórmula:
y' = 2\big(5-\cos x\big)\cdot \sin x.
Assim obtemos y' explicitamente em termos de x:
y' = 2\big(5-\cos x\big)\sin x.

Passo 6

Verificação de consistência entre (a) e (b) (parte (c)) — substituir e checar.
Da parte (a) obtivemos
y' = 2\sqrt{y}\,\sin x.
Da parte (b) temos y = \big(5-\cos x\big)^2, portanto
\sqrt{y} = 5 - \cos x,
usando a raiz positiva (justificação: 5-\cos x\ge 4>0). Substituindo essa expressão em y' da parte (a):
y' = 2\big(5-\cos x\big)\sin x,
que é exatamente o resultado que obtivemos diferenciando a forma explícita. Logo as duas formas são consistentes.

Resposta

(a) y' = 2\sqrt{y}\,\sin x
(b) y = \big(5-\cos x\big)^2
(b) y' = 2\big(5-\cos x\big)\sin x
(c) Substituindo \sqrt{y}=5-\cos x em (a) obtém-se y' = 2(5-\cos x)\sin x, portanto as respostas são compatíveis.

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