Find
by implicit differentiation.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para encontrar
por diferenciação implícita.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A igualdade envolve
e ligados implicitamente; é função de (ou seja, ). - Precisamos derivar ambos os lados em relação a
e, a partir disso, isolar . - A expressão à direita contém uma composição
com e dentro de há um produto .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
- Regra da cadeia: se
, então . Aqui serve para derivar : derivada é vezes a derivada de . - Regra do produto: se
, então . Aqui servirá para derivar (lembre que depende de , então ao derivar usamos também regra da cadeia). - Derivada de
em relação a : como , temos .
Passo 3
Derivamos o lado esquerdo
em relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Derivamos o lado direito
usando a regra da cadeia. Seja
. Então
Agora aplicamos a regra do produto para
. Tomando
e
, obtemos
Sabendo que
e
, temos
Passo 5
Substituímos esse resultado na derivada do seno:
Passo 6
Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque derivamos ambos os lados da equação original):
Passo 7
Distribuímos ou apenas isolamos o termo que contém
. Primeiro expandindo mentalmente,
Isolamos o termo com
:
Passo 8
Finalmente, dividimos pelos fatores que multiplicam
para obter
:
Observação rápida (útil na prova): essa expressão exige que
para podermos dividir; se algum desses fatores for zero, teríamos que analisar o caso separadamente (mas a forma algébrica acima é a resposta geral).