Find d y / d x by implicit differentiation.
1+x=\sin \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
1 + x = \sin\!\left(x y^{2}\right)
e pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} por diferenciação implícita.
Informações relevantes que temos:
  • A igualdade envolve x e y ligados implicitamente; y é função de x (ou seja, y=y(x)).
  • Precisamos derivar ambos os lados em relação a x e, a partir disso, isolar \dfrac{d y}{d x}.
  • A expressão à direita contém uma composição \sin(u) com u = x y^{2} e dentro de u há um produto x \cdot y^{2}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui serve para derivar \sin(xy^{2}): derivada é \cos(xy^{2}) vezes a derivada de xy^{2}.
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui servirá para derivar x\cdot y^{2} (lembre que y depende de x, então ao derivar y^{2} usamos também regra da cadeia).
  • Derivada de y^{2} em relação a x: como y=y(x), temos \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot \dfrac{d y}{d x}.

Passo 3

Derivamos o lado esquerdo 1+x em relação a x. A derivada de 1 é 0 e a derivada de x é 1. Portanto,
\frac{d}{dx}\big(1+x\big)=1.

Passo 4

Derivamos o lado direito \sin\!\left(xy^{2}\right) usando a regra da cadeia. Seja u(x)=x y^{2}. Então
\frac{d}{dx}\sin\!\left(xy^{2}\right)=\cos\!\left(xy^{2}\right)\cdot\frac{d}{dx}\big(xy^{2}\big).
Agora aplicamos a regra do produto para \dfrac{d}{dx}\big(xy^{2}\big). Tomando u_1(x)=x e v_1(x)=y^{2}, obtemos
\frac{d}{dx}\big(xy^{2}\big)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y^{2}+x\cdot\frac{d}{dx}(y^{2}).
Sabendo que \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot\dfrac{d y}{d x}, temos
\frac{d}{dx}\big(xy^{2}\big)=1\cdot y^{2}+x\cdot\big(2y\cdot\tfrac{d y}{d x}\big)=y^{2}+2xy\cdot\frac{d y}{d x}.

Passo 5

Substituímos esse resultado na derivada do seno:
\frac{d}{dx}\sin\!\left(xy^{2}\right)=\cos\!\left(xy^{2}\right)\cdot\left(y^{2}+2xy\cdot\frac{d y}{d x}\right).

Passo 6

Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque derivamos ambos os lados da equação original):
1=\cos\!\left(xy^{2}\right)\cdot\left(y^{2}+2xy\cdot\frac{d y}{d x}\right).

Passo 7

Distribuímos ou apenas isolamos o termo que contém \dfrac{d y}{d x}. Primeiro expandindo mentalmente,
1=\cos\!\left(xy^{2}\right)\,y^{2}+\cos\!\left(xy^{2}\right)\,2xy\cdot\frac{d y}{d x}.
Isolamos o termo com \dfrac{d y}{d x}:
1-\cos\!\left(xy^{2}\right)\,y^{2}=2xy\cos\!\left(xy^{2}\right)\cdot\frac{d y}{d x}.

Passo 8

Finalmente, dividimos pelos fatores que multiplicam \dfrac{d y}{d x} para obter \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos\!\left(xy^{2}\right)\,y^{2}}{2xy\cos\!\left(xy^{2}\right)}.
Observação rápida (útil na prova): essa expressão exige que 2xy\cos\!\left(xy^{2}\right)\neq 0 para podermos dividir; se algum desses fatores for zero, teríamos que analisar o caso separadamente (mas a forma algébrica acima é a resposta geral).

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos\!\left(xy^{2}\right)\,y^{2}}{2xy\cos\!\left(xy^{2}\right)}.

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