(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(a) Find
(b) Solve the equation explicitly for
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas:
- (a) Encontrar
por diferenciação implícita (ou seja, tratar como função de ). - (b) Resolver a equação explicitamente para
(obter em função de ) e então diferenciar para achar em termos de . - (c) Verificar que as duas expressões para
são consistentes, substituindo a expressão explícita de na resposta de (a).
Informações relevantes/condições que vêm do enunciado:
e, para a forma explícita, também
(porque aparece divisão por
). Vou assumir que
é diferenciável como função de
nas regiões onde essas divisões fazem sentido.
Passo 2
Revisão rápida das regras de diferenciação que vamos usar (explicadinha, calma):
- A derivada de
em relação a é . Isso vem de e da regra de potência: . - Se tivermos
mas depende de , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se , então . Aqui e . Assim
- Para isolar
basta fazer álgebra simples após derivar.
Agora aplicamos isto à equação dada.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados de
com respeito a
, temos (derivada do lado direito é zero, pois é constante)
Usando as regras acima:
Ou seja,
Isolando
:
Esse é o resultado por diferenciação implícita.
Passo 4
Agora resolvemos explicitamente a equação para
. Começamos com
Subtraindo
de ambos os lados:
Colocando no mesmo denominador:
Invertendo ambos os lados (lembrando de excluir os pontos onde qualquer denominação é zero):
válido para
e
.
Passo 5
Agora diferenciamos a expressão explícita
Vou usar a regra do quociente: se
com
e
, então
Aqui
e
. Então
Portanto, a derivada explícita é
Passo 6
Agora verificamos a consistência substituindo
na fórmula implícita
.
Calcule
:
Substituindo em
:
Isso coincide exatamente com o
que obtivemos por diferenciação explícita. Logo as duas soluções são consistentes nas regiões onde tudo está definido.
Passo 7
Resumo final e observações rápidas:
- A derivada implícita deu
. - A solução explícita é
e a derivada explícita é . - Substituindo a expressão de
na expressão implícita obtém-se exatamente a expressão explícita para , então está tudo consistente. - Lembre-se das restrições:
nos pontos onde aplicamos inversões/divisões.
Resposta
(a)
(b)
,
(c) Substituindo
em
obtém-se
, portanto são consistentes.