\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1
(a) Find y^{\prime} by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y^{\prime} in terms of x.
(c) Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1
e pede três coisas:
  1. (a) Encontrar y' por diferenciação implícita (ou seja, tratar y como função de x).
  2. (b) Resolver a equação explicitamente para y (obter y em função de x) e então diferenciar para achar y' em termos de x.
  3. (c) Verificar que as duas expressões para y' são consistentes, substituindo a expressão explícita de y na resposta de (a).
Informações relevantes/condições que vêm do enunciado:
x\neq 0,\quad y\neq 0
e, para a forma explícita, também x\neq 1 (porque aparece divisão por x-1). Vou assumir que y é diferenciável como função de x nas regiões onde essas divisões fazem sentido.

Passo 2

Revisão rápida das regras de diferenciação que vamos usar (explicadinha, calma):
  • A derivada de \dfrac{1}{x} em relação a x é -\dfrac{1}{x^{2}}. Isso vem de \dfrac{1}{x}=x^{-1} e da regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Se tivermos \dfrac{1}{y} mas y depende de x, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se u(x)=g(h(x)), então u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g(t)=1/t=t^{-1} e h(x)=y(x). Assim
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{d}{dy}\left(y^{-1}\right)\cdot y' = -\frac{1}{y^{2}}\,y'.
  • Para isolar y' basta fazer álgebra simples após derivar.
Agora aplicamos isto à equação dada.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados de
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1
com respeito a x, temos (derivada do lado direito é zero, pois é constante)
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right)=0.
Usando as regras acima:
-\frac{1}{x^{2}} \;+\; \Big(-\frac{1}{y^{2}}\,y'\Big)=0.
Ou seja,
-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}\,y'=0.
Isolando y':
-\frac{1}{y^{2}}\,y'=\frac{1}{x^{2}}
y'=-\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Esse é o resultado por diferenciação implícita.

Passo 4

Agora resolvemos explicitamente a equação para y. Começamos com
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1.
Subtraindo \dfrac{1}{x} de ambos os lados:
\frac{1}{y}=1-\frac{1}{x}.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{1}{y}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
Invertendo ambos os lados (lembrando de excluir os pontos onde qualquer denominação é zero):
y=\frac{x}{x-1},
válido para x\neq 0 e x\neq 1.

Passo 5

Agora diferenciamos a expressão explícita
y=\frac{x}{x-1}.
Vou usar a regra do quociente: se y=\dfrac{u}{v} com u=x e v=x-1, então
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=1 e v'=1. Então
y'=\frac{1\cdot (x-1)-x\cdot 1}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x}{(x-1)^{2}}=\frac{-1}{(x-1)^{2}}.
Portanto, a derivada explícita é
y'=-\frac{1}{(x-1)^{2}}.

Passo 6

Agora verificamos a consistência substituindo y=\dfrac{x}{x-1} na fórmula implícita y'=-\dfrac{y^{2}}{x^{2}}.
Calcule y^{2}:
y^{2}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}.
Substituindo em -\dfrac{y^{2}}{x^{2}}:
y'=-\frac{1}{x^{2}}\cdot \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}.
Isso coincide exatamente com o y' que obtivemos por diferenciação explícita. Logo as duas soluções são consistentes nas regiões onde tudo está definido.

Passo 7

Resumo final e observações rápidas:
  • A derivada implícita deu y'=-\dfrac{y^{2}}{x^{2}}.
  • A solução explícita é y=\dfrac{x}{x-1} e a derivada explícita é y'=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}.
  • Substituindo a expressão de y na expressão implícita obtém-se exatamente a expressão explícita para y', então está tudo consistente.
  • Lembre-se das restrições: x\neq 0,\;y\neq 0,\;x\neq 1 nos pontos onde aplicamos inversões/divisões.

Resposta

(a) y'=-\dfrac{y^{2}}{x^{2}}
(b) y=\dfrac{x}{x-1}, \;y'=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}
(c) Substituindo y=\dfrac{x}{x-1} em y'=-\dfrac{y^{2}}{x^{2}} obtém-se y'=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}, portanto são consistentes.

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