No cotovelo vertical abaixo tem-se escoamento de água a uma vazão de 20 \mathrm{l} / \mathrm{s}. A área da seção do tubo é de 20 \mathrm{~cm}^{2}. Sabendo que a perda de carga é de 1 m e a pressão na seção 1 é medida por um manômetro metálico, determinar: Dados: \[
\gamma=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}] e g =10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Supor regime permanente, propriedades uniformes nas seções, ausência de trocas de calor, e peso do fluido desprezível no cotovelo.
o módulo da força causada pelo escoamento sobre o cotovelo (trecho 1-2), em unidades MKS.

Passo 1

Vou listar explicitamente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
  • Vazão volumétrica \,Q=20\\ \mathrm{l/s}=0{,}02\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Área da seção \,A=20\\ \mathrm{cm^{2}}=0{,}002\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perda de carga entre as seções 1 e 2: \,h_{L}=1\\ \mathrm{m}.
  • Peso específico informado como \,\gamma=1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Isto implica densidade \rho=\gamma/g=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} se for adotada a relação \,1\\ \mathrm{kgf}=g\\ \mathrm{N} com g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.)
  • Suposições do enunciado: regime permanente, propriedades uniformes nas seções, ausência de trocas de calor, peso do fluido desprezível no cotovelo.
O que se pede:
  • Determinar o módulo da força causada pelo escoamento sobre o cotovelo (trecho 1–2), em unidades MKS.
Observação importante sobre a figura/diagrama:
  • O enunciado começa “No cotovelo vertical abaixo…” — portanto havia uma figura no enunciado original que mostra as direções/elevações das seções 1 e 2, possivelmente ângulo do cotovelo, posição do manômetro, e a pressão medida em 1. Essa figura NÃO foi enviada aqui.
  • A informação da figura é essencial para determinar a força numericamente porque faltam dados-chave que não estão no texto: orientação exata (ângulo entre as direções de escoamento em 1 e 2), diferença de cota \,z_2-z_1, valor numérico da pressão medida no ponto 1 pelo manômetro (ou se está manômetro indicando pressão manométrica/absoluta), e possíveis condições na saída (por exemplo pressão na seção 2 se exposta à atmosfera).
  • Por isso, com a figura ausente, não há informações suficientes para calcular um valor numérico único da força.

Passo 2

Explicar o método físico-matemático que seria usado (passo a passo didático) — isto mostra como resolver na prova assim que os dados faltantes forem conhecidos.
  1. Equação de conservação de quantidade de movimento (forma integral, regime permanente, uma corrente em e uma corrente out):
  • Definir a vazão de massa:
\dot{m}=\rho Q.
  • Velocidades médias nas seções (assumindo área uniforme em cada seção):
V_1=\frac{Q}{A_1},\qquad V_2=\frac{Q}{A_2}.
(Neste problema foi dada uma área única; se A_1=A_2=A, então V_1=V_2=V.)
  1. Forma vetorial da conservação de momento para o volume de controle que envolve o cotovelo:
\sum\vec{F}_{\text{ext}}=\dot{m}\,\vec{V}_{\text{out}}-\dot{m}\,\vec{V}_{\text{in}} + \text{fluxo de momento por esforço de pressão nas superfícies fixas (se houver)} + \text{peso (desprezível)}.çãíí
  • As forças externas que aparecem aqui são as forças aplicadas ao fluido pelo suporte/ambiente (inclusive a força do cotovelo sobre o fluido); invertendo o sinal, obtém-se a força que o fluido aplica sobre o cotovelo.
  • Em forma prática para um escoamento com apenas as duas aberturas principais e superfície sólida do cotovelo, as forças sobre o fluido são:
    • Forças de pressão na seção 1 e 2: \, \vec{F}_{p1} = -p_1 A_1 \,\hat{n}_1 (sinal e direção conforme normal exterior ao CV) e \, \vec{F}_{p2} = -p_2 A_2 \,\hat{n}_2.
    • Força de contato do cotovelo \vec{F}_{\text{cot}} (o que queremos, mas cuidado com sinais).
  • Então, escrevendo balanceamento vetorial:
\vec{F}_{p1}+\vec{F}_{p2}+\vec{F}_{\text{cot}} = \dot{m}\,\vec{V}_2-\dot{m}\,\vec{V}_1.
Assim:
\vec{F}_{\text{cot}} = \dot{m}(\vec{V}_2-\vec{V}_1) -\big(\vec{F}_{p1}+\vec{F}_{p2}\big).
A força que procuramos (módulo da força exercida pelo escoamento sobre o cotovelo) é |\vec{F}_{\text{cot}}|.
  1. Como obter p_2 (se não fornecido):
  • Usar a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 incluindo a perda de carga h_L (forma de energia por unidade de peso):
\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{V_1^{2}}{2g}=\frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V_2^{2}}{2g}+h_{L}.
  • Rearranjando para p_2:
\frac{p_2}{\gamma}=\frac{p_1}{\gamma}+z_1-z_2+\frac{V_1^{2}-V_2^{2}}{2g}-h_{L}.
Em unidades de pressão:
p_2 = p_1 + \gamma\bigl(z_1-z_2\bigr) + \gamma\frac{V_1^{2}-V_2^{2}}{2g} - \gamma\,h_{L}.
  • Observação: para aplicar isto é preciso saber \,p_1 (valor lido no manômetro), as cotas z_1,z_2, e V_1,V_2.

Passo 3

Calcular as quantidades que SÓ dependem dos dados já conhecidos (para mostrar os passos numéricos que se fariam na prova).
  1. Converter e calcular velocidade e débito de massa:
Q=0{,}02\\ \mathrm{m^{3}/s},\qquad A=0{,}002\\ \mathrm{m^{2}},
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}02}{0{,}002}=10\\ \mathrm{m/s}.
\rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}}}{10\\ \mathrm{m/s^{2}}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
\dot{m}=\rho Q=1000\times 0{,}02=20\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Termo de variação de momento (vetorial):
  • Se as direções em 1 e 2 forem diferentes (por exemplo um cotovelo de 90^\circ), o termo \dot{m}(\vec{V}_2-\vec{V}_1) tem componentes dependendo do ângulo entre \vec{V}_1 e \vec{V}_2. Para o caso simples de área igual e ângulo de 90^\circ:
|\dot{m}(\vec{V}_2-\vec{V}_1)|=\dot{m}\sqrt{V^{2}+V^{2}}=\dot{m}V\sqrt{2}.
Numericamente (apenas para ilustrar):
\dot{m}V=20\times10=200\\ \mathrm{N}\quad(\text{unidade de força}).ç
E se fosse 90°, a contribuição de módulo pura do termo de momento seria 200\sqrt{2}\\ \mathrm{N}\approx 283\\ \mathrm{N}. Mas isto é apenas a parte do termo de momento; ainda faltam as forças de pressão.

Passo 4

Explicar como montar a equação final e obter a força numérica assim que os dados faltantes estiverem disponíveis.
  1. Força de pressão em cada seção:
  • Se a normal à seção 1 aponta para fora do volume (por convenção), a força devida à pressão p_1 sobre a face interna do fluido é -p_1 A \hat{n}_1. Mas, ao escrever a equação vetorial como em Passo 2, convém escolher um referencial cartesiano e decompor as contribuições de pressão nas componentes x e y.
  • Exemplificando com um cotovelo que desvia o escoamento de x para y (90°): a pressão em 1 gera uma força horizontal F_{p1,x}=-p_1 A (sinal dependendo do sentido adotado); a pressão em 2 gera uma força vertical F_{p2,y}=-p_2 A.
  1. Procedimento numérico (resumo de passos práticos que faria na prova):
  • Calcular V_1 e V_2 (feito no Passo 3).
  • Obter p_1 a partir do manômetro (valor numérico que deve vir da figura/dado).
  • Calcular p_2 usando a equação de Bernoulli com perda h_L e diferença de cota z_2-z_1.
  • Montar as componentes do vetor:
F_{\text{cot},x}=\dot{m}(V_{2,x}-V_{1,x}) - (-p_1 A \,(\text{componente x})) - (-p_2 A\,(\text{componente x})),
F_{\text{cot},y}=\dot{m}(V_{2,y}-V_{1,y}) - (-p_1 A \,(\text{componente y})) - (-p_2 A\,(\text{componente y})).
  • Calcular o módulo:
|\vec{F}_{\text{cot}}|=\sqrt{F_{\text{cot},x}^{2}+F_{\text{cot},y}^{2}}.

Passo 5

Conclusão sobre a possibilidade de fornecer o resultado numérico imediato e o que falta exatamente.
  • Não é possível fornecer o valor numérico único pedido para |\vec{F}_{\text{cot}}| sem a figura/dados que indiquem pelo menos:
    1. O valor numérico da pressão p_1 lido pelo manômetro (ou se o manômetro indica pressão manométrica em relação à atmosfera e qual é essa), e
    2. A orientação angular entre as seções (por exemplo 90^\circ?) ou as componentes das velocidades \vec{V}_1 e \vec{V}_2, e
    3. A diferença de cota z_2-z_1 entre as seções (necessária para calcular p_2 com Bernoulli), e
    4. Se as extremidades estão expostas à atmosfera (caso em que p seria p_{atm}) ou não.
  • Sem esses dados, só se pode escrever a expressão geral e calcular as quantidades que não dependem desses dados (como \dot{m}=20\\ \mathrm{kg/s} e V=10\\ \mathrm{m/s}), o que já fiz acima para mostrar o procedimento.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o módulo da força sobre o cotovelo porque a figura/dados essenciais não foram fornecidos (falta o valor da pressão em 1 indicado pelo manômetro e a geometria/ângulo e diferença de cota entre as seções). Enunciei o método completo e as fórmulas necessárias para calcular a força assim que esses dados forem conhecidos.

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