No cotovelo vertical abaixo tem-se escoamento de água a uma vazão de
. A área da seção do tubo é de
. Sabendo que a perda de carga é de 1 m e a pressão na seção 1 é medida por um manômetro metálico, determinar: Dados: \[
\gamma=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}] e g
. Supor regime permanente, propriedades uniformes nas seções, ausência de trocas de calor, e peso do fluido desprezível no cotovelo.
o módulo da força causada pelo escoamento sobre o cotovelo (trecho 1-2), em unidades MKS.
\gamma=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}] e g
Passo 1
Vou listar explicitamente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
- Vazão volumétrica
. - Área da seção
. - Perda de carga entre as seções
e : . - Peso específico informado como
e . (Isto implica densidade se for adotada a relação com .) - Suposições do enunciado: regime permanente, propriedades uniformes nas seções, ausência de trocas de calor, peso do fluido desprezível no cotovelo.
O que se pede:
- Determinar o módulo da força causada pelo escoamento sobre o cotovelo (trecho 1–2), em unidades MKS.
Observação importante sobre a figura/diagrama:
- O enunciado começa “No cotovelo vertical abaixo…” — portanto havia uma figura no enunciado original que mostra as direções/elevações das seções
e , possivelmente ângulo do cotovelo, posição do manômetro, e a pressão medida em . Essa figura NÃO foi enviada aqui. - A informação da figura é essencial para determinar a força numericamente porque faltam dados-chave que não estão no texto: orientação exata (ângulo entre as direções de escoamento em
e ), diferença de cota , valor numérico da pressão medida no ponto pelo manômetro (ou se está manômetro indicando pressão manométrica/absoluta), e possíveis condições na saída (por exemplo pressão na seção se exposta à atmosfera). - Por isso, com a figura ausente, não há informações suficientes para calcular um valor numérico único da força.
Passo 2
Explicar o método físico-matemático que seria usado (passo a passo didático) — isto mostra como resolver na prova assim que os dados faltantes forem conhecidos.
- Equação de conservação de quantidade de movimento (forma integral, regime permanente, uma corrente em e uma corrente out):
- Definir a vazão de massa:
- Velocidades médias nas seções (assumindo área uniforme em cada seção):
(Neste problema foi dada uma área única; se
, então
.)
- Forma vetorial da conservação de momento para o volume de controle que envolve o cotovelo:
- As forças externas que aparecem aqui são as forças aplicadas ao fluido pelo suporte/ambiente (inclusive a força do cotovelo sobre o fluido); invertendo o sinal, obtém-se a força que o fluido aplica sobre o cotovelo.
- Em forma prática para um escoamento com apenas as duas aberturas principais e superfície sólida do cotovelo, as forças sobre o fluido são:
- Forças de pressão na seção
e : (sinal e direção conforme normal exterior ao CV) e . - Força de contato do cotovelo
(o que queremos, mas cuidado com sinais).
- Forças de pressão na seção
- Então, escrevendo balanceamento vetorial:
Assim:
A força que procuramos (módulo da força exercida pelo escoamento sobre o cotovelo) é
.
- Como obter
(se não fornecido):
- Usar a equação de Bernoulli entre as seções
e incluindo a perda de carga (forma de energia por unidade de peso):
- Rearranjando para
:
Em unidades de pressão:
- Observação: para aplicar isto é preciso saber
(valor lido no manômetro), as cotas , e .
Passo 3
Calcular as quantidades que SÓ dependem dos dados já conhecidos (para mostrar os passos numéricos que se fariam na prova).
- Converter e calcular velocidade e débito de massa:
- Termo de variação de momento (vetorial):
- Se as direções em
e forem diferentes (por exemplo um cotovelo de ), o termo tem componentes dependendo do ângulo entre e . Para o caso simples de área igual e ângulo de :
Numericamente (apenas para ilustrar):
E se fosse 90°, a contribuição de módulo pura do termo de momento seria
. Mas isto é apenas a parte do termo de momento; ainda faltam as forças de pressão.
Passo 4
Explicar como montar a equação final e obter a força numérica assim que os dados faltantes estiverem disponíveis.
- Força de pressão em cada seção:
- Se a normal à seção
aponta para fora do volume (por convenção), a força devida à pressão sobre a face interna do fluido é . Mas, ao escrever a equação vetorial como em Passo 2, convém escolher um referencial cartesiano e decompor as contribuições de pressão nas componentes x e y. - Exemplificando com um cotovelo que desvia o escoamento de x para y (90°): a pressão em
gera uma força horizontal (sinal dependendo do sentido adotado); a pressão em gera uma força vertical .
- Procedimento numérico (resumo de passos práticos que faria na prova):
- Calcular
e (feito no Passo 3). - Obter
a partir do manômetro (valor numérico que deve vir da figura/dado). - Calcular
usando a equação de Bernoulli com perda e diferença de cota . - Montar as componentes do vetor:
- Calcular o módulo:
Passo 5
Conclusão sobre a possibilidade de fornecer o resultado numérico imediato e o que falta exatamente.
- Não é possível fornecer o valor numérico único pedido para
sem a figura/dados que indiquem pelo menos: - O valor numérico da pressão
lido pelo manômetro (ou se o manômetro indica pressão manométrica em relação à atmosfera e qual é essa), e - A orientação angular entre as seções (por exemplo
?) ou as componentes das velocidades e , e - A diferença de cota
entre as seções (necessária para calcular com Bernoulli), e - Se as extremidades estão expostas à atmosfera (caso em que
seria ) ou não.
- O valor numérico da pressão
- Sem esses dados, só se pode escrever a expressão geral e calcular as quantidades que não dependem desses dados (como
e ), o que já fiz acima para mostrar o procedimento.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o módulo da força sobre o cotovelo porque a figura/dados essenciais não foram fornecidos (falta o valor da pressão em
indicado pelo manômetro e a geometria/ângulo e diferença de cota entre as seções). Enunciei o método completo e as fórmulas necessárias para calcular a força assim que esses dados forem conhecidos.