Escrever as Equações de Navier-Stokes na direção x. Justificar os procedimentos adotados. (Sugestão: fazer uso também da Equação da Continuidade na Forma Diferencial);
Escrever as Equações de Navier-Stokes na direção x. Justificar os procedimentos adotados. (Sugestão: fazer uso também da Equação da Continuidade na Forma Diferencial);
Escrever as Equações de Navier-Stokes na direção x. Justificar os procedimentos adotados. (Sugestão: fazer uso também da Equação da Continuidade na Forma Diferencial);
Passo 1
O enunciado pede que se escrevam as Equações de Navier–Stokes na direção
e que se justifiquem os procedimentos adotados. Não há dados numéricos específicos; a tarefa é deduzir a forma diferencial da equação de quantidade de movimento para a componente
da velocidade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Deve-se usar também a Equação da Continuidade na forma diferencial (sugestão).
- Espera-se justificar suposições (por exemplo: fluido newtoniano, viscosidade constante, hipótese de Stokes, incompressibilidade, etc.).
- Precisamos apresentar a equação localizada (ponto a ponto) para a componente
da velocidade no eixo .
Passo 2
Definir variáveis e operador material (para ficar tudo claro antes de derivar).
- Seja
a componente da velocidade na direção , a componente em e a componente em . - A densidade é
. - A pressão é
. - A força de corpo na direção
é (onde é a aceleração volumétrica, por ex. gravidade componente). - Definimos o derivada/material (aceleração total) como
Isso significa que a aceleração da partícula fluida para a componente
é
.
Passo 3
Escrever o balanço de quantidade de movimento na direção
para um ponto (forma diferencial): massa vezes aceleração = somatório das forças (pressão, tensões viscosas e forças de corpo). Em forma tensorial/generalizada, usando a tensão de Cauchy
,
onde
é o índice da componente (aqui
corresponde a
) e soma sobre
é implícita. Para a componente
(escrevendo explicitamente as coordenadas),
Explicação didática:
é a componente
da tração atuando na face normal à direção
. A divergência do tensor de tensões
representa as forças de superfície por unidade de volume.
Passo 4
Separar tensão em pressão (parte isotrópica) e tensões viscosas (parte deviator). Escrevemos
onde
é o delta de Kronecker e
é o tensor de tensões viscosas (deviator). Substituindo na expressão da derivada divergente obtemos
Portanto, a equação de momento na direção
fica
ou explicitamente
Aqui
equivale às componentes viscosas correspondentes; a próxima etapa é especificar
para um fluido newtoniano.
Passo 5
Assumir fluido newtoniano e viscosidade constante (hipótese comum). Para um fluido newtoniano isotrópico com viscosidade dinâmica
e viscosidade volumétrica (ou segundo coeficiente de viscosidade)
, tem-se
Explicar termos:
-
mede a resistência ao cisalhamento (viscosidade dinâmica). -
está associada à compressibilidade (às variações volumétricas); pela hipótese de Stokes costuma-se tomar , mas isso é uma hipótese adicional que vamos citar quando útil. -
é a divergência do campo velocidade .
Com
constante, calcular
. Para
(ou
) obtemos a identidade útil
que se demonstra desenvolvendo as derivadas e reunindo termos; em notação de componentes, para
isso dá
Breve justificativa do termo: o primeiro termo
vem da soma das segundas derivadas das componentes de velocidade (efeito difusivo/viscoso clássico); o segundo termo aparece porque a taxa de deformação volumétrica (divergência) também gera tensões isotrópicas associadas a
.
Passo 6
Combinar tudo e escrever a forma geral (compressível) da equação em
. Substituindo o resultado do Passo 5 na equação do Passo 4 chegamos à forma compressível (assumindo
e
constantes):
Explicação do que aparece:
-
. -
e está ligado à variação volumétrica do fluido. - Se
não for constante, termos adicionais aparecem envolvendo ; aqui explicitamente adotamos constante para simplificar (hipótese típica em muitos problemas).
Passo 7
Usar a Equação da Continuidade (forma diferencial) para simplificações conforme a hipótese do problema. A forma geral da continuidade é
Casos especiais relevantes:
- Fluido incompressível de densidade constante
const: a continuidade reduz-se a
Nesse caso o termo com
desaparece porque
, e a equação viscoso-difusiva simplifica muito.
- Para fluido compressível, não se pode anular
e o termo volumétrico permanece.
Passo 8
Aplicar a hipótese de Stokes (opcional, muito usada) para simplificar a constante
. A hipótese de Stokes é
Com isso
, e a equação compressível fica
Se adicionalmente o fluido for incompressível (
), esse último termo some e restamos com a forma clássica.
Passo 9
Escrever explicitamente a forma completa para o caso incompressível (a forma usual em muitos cursos): assumindo
constante,
, e
constante, a equação na direção
é
Comentário prático: esta é a forma que normalmente aparece em problemas de mecânica dos fluidos incompressíveis; o termo convectivo à esquerda expressa as contribuições temporais e advectivas da aceleração, o termo de pressão força a aceleração por gradiente e o termo com
modela a difusão de momento (efeito viscoso).