Escrever as Equações de Navier-Stokes na direção x. Justificar os procedimentos adotados. (Sugestão: fazer uso também da Equação da Continuidade na Forma Diferencial);
Escrever as Equações de Navier-Stokes na direção x. Justificar os procedimentos adotados. (Sugestão: fazer uso também da Equação da Continuidade na Forma Diferencial);

Passo 1

O enunciado pede que se escrevam as Equações de Navier–Stokes na direção x e que se justifiquem os procedimentos adotados. Não há dados numéricos específicos; a tarefa é deduzir a forma diferencial da equação de quantidade de movimento para a componente x da velocidade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Deve-se usar também a Equação da Continuidade na forma diferencial (sugestão).
  • Espera-se justificar suposições (por exemplo: fluido newtoniano, viscosidade constante, hipótese de Stokes, incompressibilidade, etc.).
  • Precisamos apresentar a equação localizada (ponto a ponto) para a componente u(x,y,z,t) da velocidade no eixo x.

Passo 2

Definir variáveis e operador material (para ficar tudo claro antes de derivar).
  • Seja u(x,y,z,t) a componente da velocidade na direção x, v(x,y,z,t) a componente em y e w(x,y,z,t) a componente em z.
  • A densidade é \rho(x,y,z,t).
  • A pressão é p(x,y,z,t).
  • A força de corpo na direção x é \rho f_x (onde f_x é a aceleração volumétrica, por ex. gravidade componente).
  • Definimos o derivada/material (aceleração total) como
\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z}.
Isso significa que a aceleração da partícula fluida para a componente x é \dfrac{Du}{Dt}.

Passo 3

Escrever o balanço de quantidade de movimento na direção x para um ponto (forma diferencial): massa vezes aceleração = somatório das forças (pressão, tensões viscosas e forças de corpo). Em forma tensorial/generalizada, usando a tensão de Cauchy \sigma_{ij},
\rho \frac{Du_i}{Dt} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho f_i,
onde i é o índice da componente (aqui i=1 corresponde a x) e soma sobre j=1,2,3 é implícita. Para a componente x (escrevendo explicitamente as coordenadas),
\rho \frac{Du}{Dt} = \frac{\partial \sigma_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{x y}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{x z}}{\partial z} + \rho f_x.
Explicação didática: \sigma_{ij} é a componente i da tração atuando na face normal à direção x_j. A divergência do tensor de tensões \partial_j \sigma_{ij} representa as forças de superfície por unidade de volume.

Passo 4

Separar tensão em pressão (parte isotrópica) e tensões viscosas (parte deviator). Escrevemos
\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker e \tau_{ij} é o tensor de tensões viscosas (deviator). Substituindo na expressão da derivada divergente obtemos
\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}.
Portanto, a equação de momento na direção x fica
\rho \frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xj}}{\partial x_j} + \rho f_x,
ou explicitamente
\rho \frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{x y}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{x z}}{\partial z} + \rho f_x.
Aqui \tau_{xj} equivale às componentes viscosas correspondentes; a próxima etapa é especificar \tau_{ij} para um fluido newtoniano.

Passo 5

Assumir fluido newtoniano e viscosidade constante (hipótese comum). Para um fluido newtoniano isotrópico com viscosidade dinâmica \mu e viscosidade volumétrica (ou segundo coeficiente de viscosidade) \lambda, tem-se
\tau_{ij} = \mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}.
Explicar termos:
  • \mu mede a resistência ao cisalhamento (viscosidade dinâmica).
  • \lambda está associada à compressibilidade (às variações volumétricas); pela hipótese de Stokes costuma-se tomar \lambda = -\tfrac{2}{3}\mu, mas isso é uma hipótese adicional que vamos citar quando útil.
  • \partial u_k/\partial x_k é a divergência do campo velocidade \nabla\!\cdot\! \mathbf{u}.
Com \mu constante, calcular \partial_j \tau_{ij}. Para i=x (ou i=1) obtemos a identidade útil
\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} = \mu \nabla^2 u_i + (\mu+\lambda)\frac{\partial}{\partial x_i}\!\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right),
que se demonstra desenvolvendo as derivadas e reunindo termos; em notação de componentes, para i=x isso dá
\frac{\partial \tau_{xj}}{\partial x_j} = \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + (\mu+\lambda)\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\right).
Breve justificativa do termo: o primeiro termo \mu\nabla^2 u_i vem da soma das segundas derivadas das componentes de velocidade (efeito difusivo/viscoso clássico); o segundo termo aparece porque a taxa de deformação volumétrica (divergência) também gera tensões isotrópicas associadas a \lambda.

Passo 6

Combinar tudo e escrever a forma geral (compressível) da equação em x. Substituindo o resultado do Passo 5 na equação do Passo 4 chegamos à forma compressível (assumindo \mu e \lambda constantes):
\rho \frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u + (\mu+\lambda)\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}\right) + \rho f_x.
Explicação do que aparece:
  • \nabla^2 u = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}.
  • \nabla\!\cdot\!\mathbf{u} = \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} e está ligado à variação volumétrica do fluido.
  • Se \mu não for constante, termos adicionais aparecem envolvendo \nabla\mu; aqui explicitamente adotamos \mu constante para simplificar (hipótese típica em muitos problemas).

Passo 7

Usar a Equação da Continuidade (forma diferencial) para simplificações conforme a hipótese do problema. A forma geral da continuidade é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\!(\rho\mathbf{u}) = 0.
Casos especiais relevantes:
  • Fluido incompressível de densidade constante \rho= const: a continuidade reduz-se a
\nabla\!\cdot\!\mathbf{u} = 0.
Nesse caso o termo com (\mu+\lambda) desaparece porque \nabla\!\cdot\!\mathbf{u}=0, e a equação viscoso-difusiva simplifica muito.
  • Para fluido compressível, não se pode anular \nabla\!\cdot\!\mathbf{u} e o termo volumétrico permanece.

Passo 8

Aplicar a hipótese de Stokes (opcional, muito usada) para simplificar a constante \lambda. A hipótese de Stokes é
\lambda = -\frac{2}{3}\mu.
Com isso \mu+\lambda = \mu - \tfrac{2}{3}\mu = \tfrac{1}{3}\mu, e a equação compressível fica
\rho \frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u + \frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}\right) + \rho f_x.
Se adicionalmente o fluido for incompressível ( \nabla\!\cdot\!\mathbf{u}=0), esse último termo some e restamos com a forma clássica.

Passo 9

Escrever explicitamente a forma completa para o caso incompressível (a forma usual em muitos cursos): assumindo \rho constante, \nabla\!\cdot\!\mathbf{u}=0, e \mu constante, a equação na direção x é
\rho\!\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho f_x.
Comentário prático: esta é a forma que normalmente aparece em problemas de mecânica dos fluidos incompressíveis; o termo convectivo à esquerda expressa as contribuições temporais e advectivas da aceleração, o termo de pressão força a aceleração por gradiente e o termo com \mu\nabla^2 u modela a difusão de momento (efeito viscoso).

Resposta

\displaystyle \rho\frac{Du}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\nabla^{2}u + (\mu+\lambda)\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}\right) + \rho f_x
\displaystyle \text{(Incompressível, }\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}=0\text{):}\quad \rho\!\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\nabla^{2}u + \rho f_xí

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