- O campo de velocidades do escoamento num tubo horizontal é dado por:
y e
. Pede-se: (a) o regime é variado ou permanente? Justificar a sua resposta; (b) Determinar as componentes da aceleração por meio de: 1) derivação direta; 2) regra da cadeia; (c) Determinar os módulos da velocidade e da aceleração no ponto
; (d) o tipo de descrição do escoamento (Euleriana/Lagrangeana), se houvesse medição de velocidades por um anemômetro fixado na parede interna do tubo, e justificar.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente.
Dados fornecidos:
- O campo de velocidades bidimensional é
e (unidades: ). - Ponto pedido:
(ou seja, , ).
Perguntas do enunciado:
(a) O regime é variado ou permanente? Justificar.
(b) Determinar as componentes da aceleração por meio de: 1) derivação direta; 2) regra da cadeia.
(c) Determinar os módulos (normas) da velocidade e da aceleração no ponto .
(d) Se houvesse medição de velocidades por um anemômetro fixado na parede interna do tubo: qual é o tipo de descrição do escoamento (Euleriana ou Lagrangeana)? Justificar.
(a) O regime é variado ou permanente? Justificar.
(b) Determinar as componentes da aceleração por meio de: 1) derivação direta; 2) regra da cadeia.
(c) Determinar os módulos (normas) da velocidade e da aceleração no ponto
(d) Se houvesse medição de velocidades por um anemômetro fixado na parede interna do tubo: qual é o tipo de descrição do escoamento (Euleriana ou Lagrangeana)? Justificar.
Passo 2
Entendendo o que significa “permanente” (steady) vs “variado” (unsteady) e verificar no campo dado.
- Regime permanente (steady) significa que as componentes de velocidade não dependem explicitamente do tempo: isto é,
e . - No campo dado
e não há aparecendo: ambas são funções apenas de e/ou . Logo - Conclusão: o regime é permanente. (Observação útil: embora seja permanente no tempo, o campo é espacialmente não uniforme porque
depende de .)
Passo 3
O que é aceleração de uma partícula de fluido e fórmula que vamos usar (explicação didática da matéria).
- A aceleração de uma partícula de fluido é a taxa de variação temporal da sua velocidade ao seguir a partícula. Em notação, se
é o campo de velocidades, a aceleração material é - O operador material (derivada total seguindo a partícula) é dado por
Aqui é a variação local no tempo no ponto fixo, e são as contribuições advectivas devido ao movimento espacial do fluido. Cada símbolo: -
e : componentes do campo de velocidade nas direções e . -
: coordenadas espaciais. -
: tempo.
-
Como no nosso caso o campo não depende de
explicitamente,
e as componentes da aceleração ficam
Passo 4
Método 1 — derivação direta (seguir uma partícula, obter trajetórias e derivar a velocidade em função do tempo).
- A ideia: escrever as equações do movimento do traço (trajetória) do fluido:
- Resolver a equação para
: é simples porque implica onde é a posição inicial em no instante . - Substituir em
. Integrando, onde é a posição inicial em no instante . - Agora a velocidade ao longo dessa trajetória é:
- Derivando diretamente em relação a
para obter a aceleração material: - Resultado pelo método da derivação direta:
Passo 5
Método 2 — regra da cadeia (usar a derivada material / operador advectivo na forma do campo).
- Primeiro calculo das derivadas parciais do campo:
- Como
, aplicando as fórmulas da derivada material:
- Novo (outra vez) chegamos a
- Conclusão: os dois métodos (seguir a partícula e derivada material via regra da cadeia) dão o mesmo resultado, como deve acontecer.
Passo 6
Calcular os módulos da velocidade e da aceleração no ponto
(passo a passo bem mastigado).
- Primeiro a velocidade no ponto
: - Módulo (norma) da velocidade:
(Se preferir um valor numérico aproximado: .) - Aceleração em qualquer ponto (obtida antes) é
. Portanto o módulo da aceleração é
Passo 7
Resposta à parte (d): tipo de descrição (Euleriana vs Lagrangeana) e justificação curta e clara.
- Definições rápidas:
- Descrição Euleriana: mede-se o campo de velocidades em pontos fixos do espaço (instrumento fixo registra a velocidade que passa por ali).
- Descrição Lagrangeana: segue-se partículas individuais e mede-se as velocidades ao longo das trajetórias das partículas.
- Um anemômetro fixado na parede interna do tubo está em um ponto fixo do espaço e registra a velocidade que passa por esse ponto. Portanto a medição é de natureza Euleriana.
- Observação adicional: como o escoamento é permanente, um anemômetro fixo medirá valores constantes no tempo (não variam com
).
Resposta
(a) Permanente (steady).
(b) Componentes da aceleração: .
(c) Módulo da velocidade em :
.
Módulo da aceleração em :
.
(d) Euleriana.
(b) Componentes da aceleração:
(c) Módulo da velocidade em
Módulo da aceleração em
(d) Euleriana.