1. O campo de velocidades do escoamento num tubo horizontal é dado por: \mathrm{u}=3 y e \mathrm{v}=2(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}). Pede-se: (a) o regime é variado ou permanente? Justificar a sua resposta; (b) Determinar as componentes da aceleração por meio de: 1) derivação direta; 2) regra da cadeia; (c) Determinar os módulos da velocidade e da aceleração no ponto \mathrm{P}=(3 ; 4); (d) o tipo de descrição do escoamento (Euleriana/Lagrangeana), se houvesse medição de velocidades por um anemômetro fixado na parede interna do tubo, e justificar.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente.
Dados fornecidos:
  • O campo de velocidades bidimensional é \mathrm{u}=3y e \mathrm{v}=2 (unidades: \mathrm{m/s}).
  • Ponto pedido: P=(3;4) (ou seja, x=3, y=4).
Perguntas do enunciado:
(a) O regime é variado ou permanente? Justificar.
(b) Determinar as componentes da aceleração por meio de: 1) derivação direta; 2) regra da cadeia.
(c) Determinar os módulos (normas) da velocidade e da aceleração no ponto P=(3;4).
(d) Se houvesse medição de velocidades por um anemômetro fixado na parede interna do tubo: qual é o tipo de descrição do escoamento (Euleriana ou Lagrangeana)? Justificar.

Passo 2

Entendendo o que significa “permanente” (steady) vs “variado” (unsteady) e verificar no campo dado.
  • Regime permanente (steady) significa que as componentes de velocidade não dependem explicitamente do tempo: isto é, \partial \mathrm{u}/\partial t=0 e \partial \mathrm{v}/\partial t=0.
  • No campo dado \mathrm{u}=3y e \mathrm{v}=2 não há t aparecendo: ambas são funções apenas de x e/ou y. Logo \frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}=0,\qquad \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial t}=0.
  • Conclusão: o regime é permanente. (Observação útil: embora seja permanente no tempo, o campo é espacialmente não uniforme porque \mathrm{u} depende de y.)

Passo 3

O que é aceleração de uma partícula de fluido e fórmula que vamos usar (explicação didática da matéria).
  • A aceleração de uma partícula de fluido é a taxa de variação temporal da sua velocidade ao seguir a partícula. Em notação, se \mathbf{v}=(\mathrm{u},\mathrm{v}) é o campo de velocidades, a aceleração material é \mathbf{a}=\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\left(\frac{D\mathrm{u}}{Dt},\;\frac{D\mathrm{v}}{Dt}\right).
  • O operador material (derivada total seguindo a partícula) é dado por \frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial}{\partial y}.Aqui \partial/\partial t é a variação local no tempo no ponto fixo, \mathrm{u}\partial/\partial x e \mathrm{v}\partial/\partial y são as contribuições advectivas devido ao movimento espacial do fluido. Cada símbolo:
    • \mathrm{u} e \mathrm{v}: componentes do campo de velocidade nas direções x e y.
    • x,y: coordenadas espaciais.
    • t: tempo.
Como no nosso caso o campo não depende de t explicitamente, \partial/\partial t=0 e as componentes da aceleração ficam
\frac{D\mathrm{u}}{Dt}=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}, \qquad \frac{D\mathrm{v}}{Dt}=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}.

Passo 4

Método 1 — derivação direta (seguir uma partícula, obter trajetórias e derivar a velocidade em função do tempo).
  • A ideia: escrever as equações do movimento do traço (trajetória) do fluido: \frac{dx}{dt}=\mathrm{u}(x,y)=3y,\qquad \frac{dy}{dt}=\mathrm{v}(x,y)=2.
  • Resolver a equação para y(t): é simples porque \dfrac{dy}{dt}=2 implica y(t)=2t+y_0,onde y_0 é a posição inicial em y no instante t=0.
  • Substituir em \dfrac{dx}{dt}=3y(t)=3(2t+y_0)=6t+3y_0. Integrando, x(t)=\int(6t+3y_0)\,dt=3t^2+3y_0 t+x_0,onde x_0 é a posição inicial em x no instante t=0.
  • Agora a velocidade ao longo dessa trajetória é: \mathrm{u}(t)=3y(t)=3(2t+y_0)=6t+3y_0, \qquad \mathrm{v}(t)=2.
  • Derivando diretamente em relação a t para obter a aceleração material: a_x=\frac{d\mathrm{u}}{dt}=\frac{d}{dt}(6t+3y_0)=6, \qquad a_y=\frac{d\mathrm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(2)=0.
  • Resultado pelo método da derivação direta: \mathbf{a}=(a_x,a_y)=(6,\,0)\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Método 2 — regra da cadeia (usar a derivada material / operador advectivo na forma do campo).
  • Primeiro calculo das derivadas parciais do campo: \frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}= \frac{\partial (3y)}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}= \frac{\partial (3y)}{\partial y}=3.
\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}= \frac{\partial (2)}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}= \frac{\partial (2)}{\partial y}=0.
  • Como \partial/\partial t=0, aplicando as fórmulas da derivada material: \frac{D\mathrm{u}}{Dt}=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}=(3y)\cdot 0 + 2\cdot 3=6,
\frac{D\mathrm{v}}{Dt}=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}=(3y)\cdot 0 + 2\cdot 0=0.
  • Novo (outra vez) chegamos a \mathbf{a}=(6,\,0)\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Conclusão: os dois métodos (seguir a partícula e derivada material via regra da cadeia) dão o mesmo resultado, como deve acontecer.

Passo 6

Calcular os módulos da velocidade e da aceleração no ponto P=(3;4) (passo a passo bem mastigado).
  • Primeiro a velocidade no ponto P: \mathrm{u}(P)=3y=3\cdot 4=12\\ \mathrm{m/s}, \qquad \mathrm{v}(P)=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo (norma) da velocidade: \|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathrm{u}^2+\mathrm{v}^2}=\sqrt{12^2+2^2}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}\\ \mathrm{m/s}.(Se preferir um valor numérico aproximado: \sqrt{148}\approx 12{,}1655\\ \mathrm{m/s}.)
  • Aceleração em qualquer ponto (obtida antes) é \mathbf{a}=(6,0)\\ \mathrm{m/s^2}. Portanto o módulo da aceleração é \|\mathbf{a}\|=\sqrt{6^2+0^2}=6\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Resposta à parte (d): tipo de descrição (Euleriana vs Lagrangeana) e justificação curta e clara.
  • Definições rápidas:
    • Descrição Euleriana: mede-se o campo de velocidades em pontos fixos do espaço (instrumento fixo registra a velocidade que passa por ali).
    • Descrição Lagrangeana: segue-se partículas individuais e mede-se as velocidades ao longo das trajetórias das partículas.
  • Um anemômetro fixado na parede interna do tubo está em um ponto fixo do espaço e registra a velocidade que passa por esse ponto. Portanto a medição é de natureza Euleriana.
  • Observação adicional: como o escoamento é permanente, um anemômetro fixo medirá valores constantes no tempo (não variam com t).

Resposta

(a) Permanente (steady).
(b) Componentes da aceleração: a_x=6\\ \mathrm{m/s^2},\; a_y=0\\ \mathrm{m/s^2}.
(c) Módulo da velocidade em P(3;4): \|\mathbf{v}\|=2\sqrt{37}\\ \mathrm{m/s}.
Módulo da aceleração em P(3;4): \|\mathbf{a}\|=6\\ \mathrm{m/s^2}.
(d) Euleriana.

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