(COVEST-1995) Deseja-se fechar um furo de 24,95 cm^2 de área, no centro de um disco de magnésio, com um disco de 25,05 cm^2 de alumínio. Para tal, pode-se aquecer o disco de magnésio e resfriar o disco de alumínio e, em seguida, colocar o disco no furo. Assuma que, em módulo, as variações de temperatura a que são submetidos o alumínio e o magnésio são iguais, e que os coeficientes de dilatação linear deles também são iguais ( alpha=25 times 10-6^circ C^-1 ). Determine o módulo do inteiro mais próximo que representa a menor variação de temperatura necessária para colocar o disco de alumínio no furo do disco de magnésio.

Passo 1

O enunciado pede a menor variação de temperatura De<a T (em módulo) para encaixar um disco de alumínio de área inicial A2=24,95,cm ^2 num furo de disco de magnésio de área inicial A1=25,05,cm ^2, sabendo que o alumínio é resfriado em De<a T e o magnésio aquecido em De<a T, com coeficiente de dilatação linear comum alpha=25times10^-6,^circC^-1. O conteúdo usado é dilatação térmica bidimensional (variação de área).

Passo 2

Em dilatação térmica, para pequena variação de temperatura De<a T, uma área A varia para
A' ;=; A,(1+2alpha,De<a T)
Aqui usamos 2alpha como coeficiente de dilatação superficial aproximado.

Passo 3

O furo de magnésio, ao ser aquecido em De<a T, passa a ter área
A1' ;=; A1,(1+2alpha,De<a T),
enquanto o disco de alumínio, ao ser resfriado em De<a T (ou seja, De<a Trm Al=-De<a T), passa a ter área
A2' ;=; A2,(1+2alphacdot(-De<a T)) ;=; A2,(1-2alpha,De<a T)
Para encaixar o disco, igualamos A2' a A1'.

Passo 4

Igualando as áreas após dilatação,
A2,(1-2alpha,De<a T) ;=; A1,(1+2alpha,De<a T),
temos
A2 - A1 ;=; 2alpha,De<a T,(A1 + A2) Longrightarrow De<a T ;=;A2 - A12alpha,(A1 + A2)

Passo 5

Substituindo A2 - A1=25,05-24,95=0,10,cm ^2, A1 + A2=50,00,cm ^2 e alpha=25times10^-6,^circC^-1, vem
De<a T =0,102cdot25times10^-6cdot50,00 =0,102,5times10^-3 approx 40,^circC

Resposta

A menor variação de temperatura necessária (em módulo) é aproximadamente 40,^circC.

Exercícios relacionados