O polinômio p(x) = 2x³+ax²+bx+c é divisível por 2x²-x+4. O valor de c +2b-a é:
a) 9
b) 15
c) 21
d) 25
a) 9
b) 15
c) 21
d) 25
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos o polinômio $ p(x) = 2x^3 + a x^2 + b x + c $ e sabemos que ele é divisível por $ 2x^2 - x + 4 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ c + 2b - a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de polinômios e divisão de polinômios.
Passo 2
Como $ p(x) $ é divisível por $ 2x^2 - x + 4 $, podemos expressar $ p(x) $ como o produto de $ 2x^2 - x + 4 $ por outro polinômio de primeira grau (porque o grau de $ p(x) $ é 3 e o de $ 2x^2 - x + 4 $ é 2). Vamos chamar esse polinômio de $ q(x) = kx + m $.
Então, temos:
Passo 3
Vamos multiplicar os dois polinômios para expandir $ p(x) $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, sabemos que $ p(x) = 2x^3 + a x^2 + b x + c $. Vamos igualar os coeficientes correspondentes dos dois polinômios:
Para $ x^3 $:
Para $ x^2 $:
Para $ x $:
Para o termo constante:
Passo 5
Temos agora duas expressões para $ m $:
Igualando-as:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Agora, substituímos $ a = 7 - 2b $ na expressão de $ c $:
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar $ c + 2b - a $. Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
O valor de $ c + 2b - a $ é 9.