O polinômio p(x) = 2x³+ax²+bx+c é divisível por 2x²-x+4. O valor de c +2b-a é:
a) 9
b) 15
c) 21
d) 25

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos o polinômio $ p(x) = 2x^3 + a x^2 + b x + c $ e sabemos que ele é divisível por $ 2x^2 - x + 4 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ c + 2b - a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de polinômios e divisão de polinômios.

Passo 2

Como $ p(x) $ é divisível por $ 2x^2 - x + 4 $, podemos expressar $ p(x) $ como o produto de $ 2x^2 - x + 4 $ por outro polinômio de primeira grau (porque o grau de $ p(x) $ é 3 e o de $ 2x^2 - x + 4 $ é 2). Vamos chamar esse polinômio de $ q(x) = kx + m $.
Então, temos:
p(x)

Passo 3

Vamos multiplicar os dois polinômios para expandir $ p(x) $:
p(x)
Simplificando:
p(x) = (2x^2)(kx) + (2x^2)(m) + (-x)(kx) + (-x)(m) + (4)(kx) + (4)(m)

Passo 4

Agora, sabemos que $ p(x) = 2x^3 + a x^2 + b x + c $. Vamos igualar os coeficientes correspondentes dos dois polinômios:
Para $ x^3 $:
p(x) = 2x^3 + a x^2 + b x + c
Para $ x^2 $:
x^3
Para $ x $:
2k = 2 implies k = 1
Para o termo constante:
x^2

Passo 5

Temos agora duas expressões para $ m $:
m
Igualando-as:
m = a + 12 e m = 4 - b
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
a + 12 = 4 - b

Passo 6

Agora, substituímos $ a = 7 - 2b $ na expressão de $ c $:
a = 7 - 2b

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar $ c + 2b - a $. Substituindo os valores que encontramos:
c + 2b - a
Simplificando:
c + 2b - a = (16 - 4b) + 2b - (7 - 2b)
= 16 - 4b + 2b - 7 + 2b
= 9 - 0b

Resposta

O valor de $ c + 2b - a $ é 9.

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