(Crescimento populacional) Numa certa cultura de bactérias o número de bactérias cresceu seis vezes em 10 horas. Quanto tempo levou para a população duplicar seu número inicial?

Passo 1

O enunciado informa que, numa certa cultura de bactérias, o número de bactérias cresceu seis vezes em 10 horas. O que é pedido é: quanto tempo levou para a população duplicar o número inicial?
Dados que extraí do enunciado: \text{fator de crescimento total em }10\text{ h} = 6 e \text{tempo dado} = 10\text{ h}. A incógnita é o tempo t (em horas) tal que a população atinja o dobro do número inicial.

Passo 2

Escolha do modelo: vamos modelar o crescimento por uma função exponencial do tipo
N(t)=N_0 \, a^{t},
onde N(t) é a população no tempo t (em horas), N_0 é a população inicial (em t=0) e a é o fator de crescimento por hora. Aqui a>0. Esse modelo significa que a cada hora a população é multiplicada por a. É um modelo muito usado para crescimento de bactérias quando não se diz o contrário. Não precisamos assumir taxa contínua; esse modelo discreto por hora é mais simples e suficiente.

Passo 3

Usar a informação dada para determinar a. Como depois de 10 horas a população ficou 6 vezes maior, temos
N(10)=N_0\,a^{10}=6\,N_0.
Dividindo por N_0 obtemos
a^{10}=6.
Para isolar a tiramos a décima raiz (ou usamos logaritmo):
a=6^{1/10}.
Isso quer dizer que a cada hora a população é multiplicada por 6^{1/10}.

Passo 4

Agora imponho a condição de duplicação: quero t tal que N(t)=2N_0. Pela fórmula,
N(t)=N_0\,a^{t}=2N_0.
Dividindo por N_0 fica
a^{t}=2.

Passo 5

Resolver a^{t}=2 usando logaritmos. Lembrando a propriedade dos logaritmos: \log(x^{y})=y\log(x). Aplicando log em ambos os lados,
\log(a^{t})=\log(2)\quad\Rightarrow\quad t\log(a)=\log(2).
Logo
t=\frac{\log(2)}{\log(a)}.

Passo 6

Substituir a=6^{1/10} em \log(a). Usando \log(6^{1/10})=\tfrac{1}{10}\log(6), temos
t=\frac{\log(2)}{\tfrac{1}{10}\log(6)}=10\cdot\frac{\log(2)}{\log(6)}.
Essa expressão é exata e pode ser calculada com logaritmo natural ou logaritmo decimal — o resultado é o mesmo.

Passo 7

Cálculo numérico aproximado usando logaritmo natural: \ln 2\approx 0{,}693147 e \ln 6\approx 1{,}791759. Então
t\approx 10\cdot\frac{0{,}693147}{1{,}791759}\approx 10\cdot 0{,}38685\approx 3{,}8685\\ \text{horas}.

Passo 8

Converter a parte decimal de horas em minutos para ficar mais intuitivo. A parte decimal é 0{,}8685 horas. Em minutos:
0{,}8685\times 60\approx 52{,}11\\ \text{minutos},
ou seja, aproximadamente 3 horas e 52 minutos.

Resposta

t\approx 3{,}8685\\ \text{horas}
t\approx 3\\ \text{h}\\\ 52\\ \text{min}

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