(Crescimento populacional) Numa certa cultura de bactérias o número de bactérias cresceu seis vezes em 10 horas. Quanto tempo levou para a população duplicar seu número inicial?
Passo 1
O enunciado informa que, numa certa cultura de bactérias, o número de bactérias cresceu seis vezes em 10 horas. O que é pedido é: quanto tempo levou para a população duplicar o número inicial?
Dados que extraí do enunciado: e
. A incógnita é o tempo
(em horas) tal que a população atinja o dobro do número inicial.
Dados que extraí do enunciado:
Passo 2
Escolha do modelo: vamos modelar o crescimento por uma função exponencial do tipo
onde
é a população no tempo
(em horas),
é a população inicial (em
) e
é o fator de crescimento por hora. Aqui
. Esse modelo significa que a cada hora a população é multiplicada por
. É um modelo muito usado para crescimento de bactérias quando não se diz o contrário. Não precisamos assumir taxa contínua; esse modelo discreto por hora é mais simples e suficiente.
Passo 3
Usar a informação dada para determinar
. Como depois de
horas a população ficou 6 vezes maior, temos
Dividindo por
obtemos
Para isolar
tiramos a décima raiz (ou usamos logaritmo):
Isso quer dizer que a cada hora a população é multiplicada por
.
Passo 4
Agora imponho a condição de duplicação: quero
tal que
. Pela fórmula,
Dividindo por
fica
Passo 5
Resolver
usando logaritmos. Lembrando a propriedade dos logaritmos:
. Aplicando log em ambos os lados,
Logo
Passo 6
Substituir
em
. Usando
, temos
Essa expressão é exata e pode ser calculada com logaritmo natural ou logaritmo decimal — o resultado é o mesmo.
Passo 7
Cálculo numérico aproximado usando logaritmo natural:
e
. Então
Passo 8
Converter a parte decimal de horas em minutos para ficar mais intuitivo. A parte decimal é
horas. Em minutos:
ou seja, aproximadamente
horas e
minutos.