Considere uma caderneta de poupança que contém inicialmente A_{0} dólares e rende juros à taxa continuamente composta de r ao ano. Suponha que depósitos são feitos nesta caderneta à taxa de Q dólares por ano. Para simplificar o modelo matemático, assuma que esses depósitos são feitos continuamente e não (por exemplo) mensalmente. (a) Deduza a equaçāo diferencial para a quantia A(t) na caderneta ao tempo de t anos. (b) Suponha que você descje providenciar, na ocasião do nascimento de sua filha, para que ela tenha 40.000 dólares disponíveis para despesas universitárias no dia de seu décimo oitavo aniversário. Você planeja conseguir isso fazendo frequientes depósitos pequenos - essencialmente contínuos - numa caderneta de poupança, à taxa de Q milhares de dólares por ano. Esta caderneta acumula juros à taxa anual de 11 \%, continuamente compostos. Quanto deve ser Q para que você consiga seu objetivo?

Passo 1

O problema tem duas partes. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Dados gerais (parte (a)):
    • Inicialmente a caderneta contém \,A_{0}\, dólares.
    • Juros continuamente compostos à taxa \,r\, por ano (ou seja, juros contínuos).
    • Depósitos contínuos na caderneta à taxa \,Q\, dólares por ano (fluxo constante).
  • Pergunta (parte (a)): deduzir a equação diferencial que governa a quantia A(t) ao tempo t anos e obter a solução geral com a condição inicial A(0)=A_{0}.
  • Dados e pergunta (parte (b)):
    • Você começa a depositar no nascimento da filha, então assumimos \,A_{0}=0 (nenhum saldo inicial).
    • Objetivo: ter \$40{,}000 ao completar 18 anos. Como a pergunta usa Q em milhares de dólares por ano, é conveniente medir quantias também em milhares: então o objetivo é \,40 milhares de dólares.
    • Taxa de juros anual continuamente composta \,r=11\% = 0{,}11.
    • Horizonte de tempo \,t=18 anos.
    • Pergunta: determinar \,Q (em milhares de dólares por ano) que deve ser depositado continuamente para atingir \,40 milhares em 18 anos.

Passo 2

Intuição física e dedução diferencial (pequeno passo de cálculo infinitesimal):
  • Em um pequeno intervalo de tempo \,dt:
    • O saldo atual \,A(t) rende juros contínuos à taxa \,r, então o acréscimo por juros é aproximadamente \,r\,A(t)\,dt.
    • Além disso entram depósitos contínuos à taxa \,Q dólares por ano, então a entrada nesse intervalo é \,Q\,dt.
  • Assim a variação total do capital em [t,t+dt] é dA = r\,A(t)\,dt + Q\,dt.
  • Dividindo por \,dt e passando ao limite, obtemos a equação diferencial ordinária de primeira ordem: \frac{dA}{dt} = r\,A(t) + Q,com condição inicial \,A(0)=A_{0}.
Explicação das variáveis (pra ninguém se perder):
  • \,A(t) é a quantia (em dólares, ou em milhares se escolhermos essa unidade) no tempo \,t.
  • \,r é a taxa de juros contínua por ano.
  • \,Q é a taxa de depósitos contínuos (dólares por ano, ou milhares de dólares por ano).

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial linear \displaystyle \frac{dA}{dt} - rA = Q pelo método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e explicando cada passo:
  • Forma padrão: \displaystyle \frac{dA}{dt} + p(t)A = g(t). Aqui p(t)=-r (constante) e g(t)=Q (constante).
  • O fator integrante \mu(t) é \displaystyle \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{-r t}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t): e^{-r t}\frac{dA}{dt} - r e^{-r t} A = Q e^{-r t}.O lado esquerdo é a derivada do produto \displaystyle \frac{d}{dt}\big(A e^{-r t}\big). Por que? Porque pela regra do produto: \frac{d}{dt}\big(A e^{-r t}\big) = e^{-r t}\frac{dA}{dt} + A\frac{d}{dt}(e^{-r t}) = e^{-r t}\frac{dA}{dt} - r e^{-r t}A.
  • Portanto temos \frac{d}{dt}\big(A e^{-r t}\big) = Q e^{-r t}.
  • Integrando ambos os lados de 0 até t: A(t)e^{-r t} - A(0)e^{0} = Q\int_{0}^{t} e^{-r s}\,ds.
  • Avaliando a integral (lembrando que r é constante): \int_{0}^{t} e^{-r s}\,ds = \left[-\frac{1}{r}e^{-r s}\right]_{0}^{t} = \frac{1}{r}\big(1 - e^{-r t}\big).
  • Substituindo e isolando A(t): A(t)e^{-r t} = A_{0} + Q\cdot\frac{1}{r}\big(1 - e^{-r t}\big).Multiplicando por e^{r t}: A(t) = A_{0}e^{r t} + \frac{Q}{r}\big(e^{r t}-1\big).
Comentário didático: essa solução tem duas partes:
  • \,A_{0}e^{r t} é o crescimento exponencial do montante inicial pelo juro contínuo (se você não depositasse nada).
  • \,\dfrac{Q}{r}\big(e^{r t}-1\big) é o efeito acumulado dos depósitos contínuos à taxa Q: é como se cada depósito infinitesimal fosse rendendo juros até o tempo t e a soma de todos esses efeitos dá esse termo fechado.

Passo 4

Verificação e interpretação rápida (útil para a prova):
  • Se Q=0 (nenhum depósito), a fórmula reduz corretamente a A(t)=A_{0}e^{r t}.
  • Se A_{0}=0 (começa sem saldo), obtemos A(t)=\frac{Q}{r}\big(e^{r t}-1\big),que é frequentemente usada em problemas de acumulação com contribuições contínuas.

Passo 5

Aplicando ao item (b): achar \,Q para atingir \$40{,}000 em 18 anos com r=0{,}11 e A_{0}=0. Lembrete: vamos trabalhar em milhares de dólares, então o objetivo é A(18)=40.
  • Usamos a fórmula com A_{0}=0: 40 = \frac{Q}{r}\big(e^{r\cdot 18}-1\big).
  • Isolando Q: Q = 40\cdot \frac{r}{e^{18 r}-1}.
  • Substituindo r=0{,}11: 18r = 18\cdot 0{,}11 = 1{,}98,então precisamos de e^{1{,}98}. Calculando (aproximação manual com boa precisão): e^{1{,}98}\approx 7{,}242742,portanto e^{18r}-1 \approx 7{,}242742 - 1 = 6{,}242742.
  • Agora o numerador é 40\cdot r = 40\cdot 0{,}11 = 4{,}4.
  • Logo Q \approx \frac{4{,}4}{6{,}242742} \approx 0{,}70468(em milhares de dólares por ano).
Interpretação prática:
  • \,Q\approx 0{,}70468 milhares/ano = \$704{,}68 por ano.
  • Por mês isso dá aproximadamente \dfrac{704{,}68}{12}\approx \$58{,}72 por mês — ou seja, menos de \$60 por mês depositados continuamente equivalentes atingiriam \$40{,}000 em 18 anos a 11\% juro contínuo.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dA}{dt}=rA+Q e \displaystyle A(t)=A_{0}e^{r t}+\frac{Q}{r}\big(e^{r t}-1\big).\n(b) \displaystyle Q\approx 0{,}70468 (milhares de dólares por ano), ou seja aproximadamente \$704{,}68 por ano (≈ \$58{,}72 por mês).

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