Considere uma caderneta de poupança que contém inicialmente
dólares e rende juros à taxa continuamente composta de
ao ano. Suponha que depósitos são feitos nesta caderneta à taxa de
dólares por ano. Para simplificar o modelo matemático, assuma que esses depósitos são feitos continuamente e não (por exemplo) mensalmente. (a) Deduza a equaçāo diferencial para a quantia
na caderneta ao tempo de
anos. (b) Suponha que você descje providenciar, na ocasião do nascimento de sua filha, para que ela tenha 40.000 dólares disponíveis para despesas universitárias no dia de seu décimo oitavo aniversário. Você planeja conseguir isso fazendo frequientes depósitos pequenos - essencialmente contínuos - numa caderneta de poupança, à taxa de
milhares de dólares por ano. Esta caderneta acumula juros à taxa anual de
, continuamente compostos. Quanto deve ser
para que você consiga seu objetivo?
Passo 1
O problema tem duas partes. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Dados gerais (parte (a)):
- Inicialmente a caderneta contém
dólares. - Juros continuamente compostos à taxa
por ano (ou seja, juros contínuos). - Depósitos contínuos na caderneta à taxa
dólares por ano (fluxo constante).
- Inicialmente a caderneta contém
- Pergunta (parte (a)): deduzir a equação diferencial que governa a quantia
ao tempo anos e obter a solução geral com a condição inicial . - Dados e pergunta (parte (b)):
- Você começa a depositar no nascimento da filha, então assumimos
(nenhum saldo inicial). - Objetivo: ter
ao completar 18 anos. Como a pergunta usa em milhares de dólares por ano, é conveniente medir quantias também em milhares: então o objetivo é milhares de dólares. - Taxa de juros anual continuamente composta
. - Horizonte de tempo
anos. - Pergunta: determinar
(em milhares de dólares por ano) que deve ser depositado continuamente para atingir milhares em 18 anos.
- Você começa a depositar no nascimento da filha, então assumimos
Passo 2
Intuição física e dedução diferencial (pequeno passo de cálculo infinitesimal):
- Em um pequeno intervalo de tempo
: - O saldo atual
rende juros contínuos à taxa , então o acréscimo por juros é aproximadamente . - Além disso entram depósitos contínuos à taxa
dólares por ano, então a entrada nesse intervalo é .
- O saldo atual
- Assim a variação total do capital em
é - Dividindo por
e passando ao limite, obtemos a equação diferencial ordinária de primeira ordem: com condição inicial .
Explicação das variáveis (pra ninguém se perder):
-
é a quantia (em dólares, ou em milhares se escolhermos essa unidade) no tempo . -
é a taxa de juros contínua por ano. -
é a taxa de depósitos contínuos (dólares por ano, ou milhares de dólares por ano).
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial linear
pelo método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e explicando cada passo:
- Forma padrão:
. Aqui (constante) e (constante). - O fator integrante
é . - Multiplicando a equação por
: O lado esquerdo é a derivada do produto . Por que? Porque pela regra do produto: - Portanto temos
- Integrando ambos os lados de
até : - Avaliando a integral (lembrando que
é constante): - Substituindo e isolando
: Multiplicando por :
Comentário didático: essa solução tem duas partes:
-
é o crescimento exponencial do montante inicial pelo juro contínuo (se você não depositasse nada). -
é o efeito acumulado dos depósitos contínuos à taxa : é como se cada depósito infinitesimal fosse rendendo juros até o tempo e a soma de todos esses efeitos dá esse termo fechado.
Passo 4
Verificação e interpretação rápida (útil para a prova):
- Se
(nenhum depósito), a fórmula reduz corretamente a . - Se
(começa sem saldo), obtemos que é frequentemente usada em problemas de acumulação com contribuições contínuas.
Passo 5
Aplicando ao item (b): achar
para atingir
em 18 anos com
e
. Lembrete: vamos trabalhar em milhares de dólares, então o objetivo é
.
- Usamos a fórmula com
: - Isolando
: - Substituindo
: então precisamos de . Calculando (aproximação manual com boa precisão): portanto - Agora o numerador é
. - Logo
(em milhares de dólares por ano).
Interpretação prática:
-
milhares/ano = por ano. - Por mês isso dá aproximadamente
por mês — ou seja, menos de por mês depositados continuamente equivalentes atingiriam em 18 anos a juro contínuo.
Resposta
(a)
e
\n(b)
(milhares de dólares por ano), ou seja aproximadamente
por ano (≈
por mês).