Quando açúcar é dissolvido em água, a quantidade A que permanece não-dissolvida após
minutos satisfaz a equaçăo diferencial
. Se
do açúcar são dissolvidos após 1 min , quanto se passa até que metade do açúcar se dissolva?
Passo 1
O enunciado diz que a quantidade
de açúcar não dissolvida após
minutos satisfaz a equação diferencial
com
. Isso é uma EDO de primeira ordem, separável, e queremos descobrir quanto tempo leva para dissolver metade do açúcar, sabendo também que 25% se dissolvem em 1 minuto.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a EDO por separação de variáveis. Separamos
e integramos:
Exponeciando e aplicando
, obtemos
Passo 3
Usando que 25% do açúcar se dissolvem em 1 minuto, resta 75% não dissolvido, ou seja
. Substituindo na solução:
logo
e assim
Passo 4
Para achar o tempo
em que metade do açúcar permanece (
), usamos a expressão geral:
Cancelando
e resolvendo para
:
Substituindo
, vem
Passo 5
Calculando numericamente
e
, obtemos: