Quando açúcar é dissolvido em água, a quantidade A que permanece não-dissolvida após t minutos satisfaz a equaçăo diferencial d A / d t= -k A(k>0). Se 25 % do açúcar são dissolvidos após 1 min , quanto se passa até que metade do açúcar se dissolva?

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade A de açúcar não dissolvida após t minutos satisfaz a equação diferencial dAdt = -kA com k>0. Isso é uma EDO de primeira ordem, separável, e queremos descobrir quanto tempo leva para dissolver metade do açúcar, sabendo também que 25% se dissolvem em 1 minuto.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a EDO por separação de variáveis. Separamos 1A,dA = -k,dt e integramos:
integral 1A,dA = integral -k,dt ;Longrightarrow; ln|A| = -kt + C
Exponeciando e aplicando A(0)=A0, obtemos
A(t) = A0 e^-kt

Passo 3

Usando que 25% do açúcar se dissolvem em 1 minuto, resta 75% não dissolvido, ou seja A(1)=0,75A0. Substituindo na solução:
0,75A0 = A0 e^-kcdot1
logo
e^-k = 0,75
e assim
k = -ln(0,75)

Passo 4

Para achar o tempo t em que metade do açúcar permanece ( A(t)=0,5A0), usamos a expressão geral:
0,5A0 = A0 e^-kt
Cancelando A0 e resolvendo para t:
e^-kt = 0,5 Longrightarrow -kt = ln(0,5) Longrightarrow t = -ln(0,5)k
Substituindo k = -ln(0,75), vem
t = ln(2)-ln(0,75)

Passo 5

Calculando numericamente ln(2) approx 0,6931 e -ln(0,75)approx0,2877, obtemos:
t approx 0,69310,2877 approx 2,41 minutos

Resposta

t = ln(2)-ln(0,75) approx 2,41 minutos.

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