O crescimento de uma startup é modelado matematicamente. Seja
a base de usuários (em milhares) e
sua taxa de crescimento. A relação entre a base de usuários, a taxa de crescimento e sua aceleração é dada por:
a) ( 2,5 pontos) Reescreva a equação na forma diferencial e mostre que ela não é exata. Em seguida, resolva a EDO de
em função de
, sabendo que a startup, quando tinha uma base de 2 mil usuários
, apresentava uma taxa de crescimento de 3 mil usuários/mês
.
b) ( 1,5 pontos) Determine a taxa de crescimento
quando a base de usuários atingir 3 mil
.
b) ( 1,5 pontos) Determine a taxa de crescimento
Passo 1
O enunciado dá a relação entre a base de usuários
(em milhares), a taxa de crescimento
(em milhares/mês) e a aceleração através da equação
O que se pede:
- Reescrever essa equação na forma diferencial (uma forma tipo
) e mostrar que ela NÃO é exata. - Resolver a EDO para
em função de , usando a condição inicial . - Determinar, com a solução encontrada, o valor de
quando .
Informações relevantes do enunciado (resumindo):
- Equação dada:
- Condição inicial:
implica
Passo 2
Reescrever na forma diferencial. Começo isolando tudo e multiplicando por
para obter uma expressão do tipo
.
Parto de
Multiplicando por
:
Aqui posso identificar
de modo que a equação está na forma
.
Agora mostro que essa forma não é exata. Lembrete curto sobre exatidão: uma forma
é exata se existir uma função
tal que
. Uma condição necessária (e suficiente em domínio convexo) é
Calculo as derivadas parciais:
Como
(em geral), a condição de exatidão falha. Conclusão: a forma não é exata.
Passo 3
Procurando um método para resolver a EDO em
. Volto à equação inicial e tento simplificá-la:
Note que aparece o produto
. Uma boa ideia é usar a substituição
porque então
, e a equação pode simplificar para uma equação linear em
. Isso é um truque clássico: quando aparecem termos como
, passamos para a variável
.
Passo 4
Aplicando a substituição
. Da equação
divido por
(assumindo
) para organizar, ou simplesmente uso diretamente
. Substituindo:
Coloco em forma padrão linear:
Isto é uma EDO linear de primeira ordem em
. Vou resolver por fator integrante.
O fator integrante é
Multiplico a equação linear por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, isto é,
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 5
Volto a
substituindo
:
Agora aplico a condição inicial
. Substituindo:
Isolando
:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Determino
. Temos
expressão acima, então
Qual sinal escolher? A condição inicial diz
, então escolhemos o ramo positivo:
(Observação rápida: a solução só faz sentido onde o radicando é não negativo; isso define o domínio físico da solução.)
Passo 7
Calculo
quando
(parte b). Substituo
em
:
Faço a conta em forma fracionária:
Logo
Mantendo as unidades originais:
está em milhares de usuários por mês, então
corresponde a cerca de
usuários por mês. (Mas na seção de resposta eu deixo apenas o valor pedindo.)