O crescimento de uma startup é modelado matematicamente. Seja x(t) a base de usuários (em milhares) e v=\frac{d x}{d t} sua taxa de crescimento. A relação entre a base de usuários, a taxa de crescimento e sua aceleração é dada por:
2 x v \frac{d v}{d x}+3 v^{2}=-4 x
a) ( 2,5 pontos) Reescreva a equação na forma diferencial e mostre que ela não é exata. Em seguida, resolva a EDO de v em função de x, sabendo que a startup, quando tinha uma base de 2 mil usuários (x=2), apresentava uma taxa de crescimento de 3 mil usuários/mês (v=3).
b) ( 1,5 pontos) Determine a taxa de crescimento v quando a base de usuários atingir 3 mil (x=3).

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a base de usuários x(t) (em milhares), a taxa de crescimento v=\dfrac{d x}{d t} (em milhares/mês) e a aceleração através da equação
2 x v \frac{d v}{d x}+3 v^{2}=-4 x.
O que se pede:
  • Reescrever essa equação na forma diferencial (uma forma tipo M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv=0) e mostrar que ela NÃO é exata.
  • Resolver a EDO para v em função de x, usando a condição inicial x=2,\\ v=3.
  • Determinar, com a solução encontrada, o valor de v quando x=3.
Informações relevantes do enunciado (resumindo):
  • Equação dada: \;2 x v \dfrac{d v}{d x}+3 v^{2}=-4 x.
  • Condição inicial: \;x=2 implica \;v=3.

Passo 2

Reescrever na forma diferencial. Começo isolando tudo e multiplicando por dx para obter uma expressão do tipo M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv=0.
Parto de
2 x v \frac{d v}{d x}+3 v^{2}+4 x=0.
Multiplicando por dx:
(3 v^{2}+4 x)\,dx + 2 x v\,dv = 0.
Aqui posso identificar
M(x,v)=3 v^{2}+4 x,\qquad N(x,v)=2 x v,
de modo que a equação está na forma M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv=0.
Agora mostro que essa forma não é exata. Lembrete curto sobre exatidão: uma forma M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv é exata se existir uma função F(x,v) tal que dF=M\,dx+N\,dv. Uma condição necessária (e suficiente em domínio convexo) é
\frac{\partial M}{\partial v}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial v}=6 v,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2 v.
Como 6 v \neq 2 v (em geral), a condição de exatidão falha. Conclusão: a forma não é exata.

Passo 3

Procurando um método para resolver a EDO em v(x). Volto à equação inicial e tento simplificá-la:
2 x v \frac{d v}{d x} = -3 v^{2}-4 x.
Note que aparece o produto v\,\dfrac{dv}{dx}. Uma boa ideia é usar a substituição
w=v^{2},
porque então \dfrac{dw}{dx}=2 v \dfrac{dv}{dx}, e a equação pode simplificar para uma equação linear em w. Isso é um truque clássico: quando aparecem termos como v\,dv/dx, passamos para a variável w=v^{2}.

Passo 4

Aplicando a substituição w=v^{2}. Da equação
2 x v \frac{d v}{d x} = -3 v^{2}-4 x
divido por x (assumindo x\neq0) para organizar, ou simplesmente uso diretamente 2 v \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{dw}{dx}. Substituindo:
x\,\frac{dw}{dx} = -3 w - 4 x.
Coloco em forma padrão linear:
\frac{dw}{dx} + \frac{3}{x}\,w = -4.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem em w(x). Vou resolver por fator integrante.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp(3\ln x)=x^{3}.
Multiplico a equação linear por \mu(x)=x^{3}:
x^{3}\frac{dw}{dx} + 3x^{2} w = -4 x^{3}.
O lado esquerdo é a derivada de x^{3}w, isto é,
\frac{d}{dx}\big(x^{3}w\big) = -4 x^{3}.
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{3}w = \int -4 x^{3}\,dx = -x^{4} + C,
onde C é a constante de integração. Assim
w = -x + C x^{-3}.

Passo 5

Volto a v substituindo w=v^{2}:
v^{2} = -x + C x^{-3}.
Agora aplico a condição inicial \;x=2,\\ v=3. Substituindo:
9 = -2 + C \cdot 2^{-3} = -2 + \frac{C}{8}.
Isolando C:
\frac{C}{8} = 11 \quad\Longrightarrow\quad C=88.
Portanto a solução particular é
v^{2} = -x + 88\,x^{-3}.

Passo 6

Determino v(x). Temos v^{2}= expressão acima, então
v(x)=\pm\sqrt{-x + 88\,x^{-3}}.
Qual sinal escolher? A condição inicial diz v(2)=3>0, então escolhemos o ramo positivo:
v(x)=\sqrt{-x + 88\,x^{-3}}.
(Observação rápida: a solução só faz sentido onde o radicando é não negativo; isso define o domínio físico da solução.)

Passo 7

Calculo v quando x=3 (parte b). Substituo x=3 em v^{2}:
v^{2}(3) = -3 + 88\cdot 3^{-3} = -3 + \frac{88}{27}.
Faço a conta em forma fracionária:
-3 + \frac{88}{27} = \frac{-81+88}{27} = \frac{7}{27}.
Logo
v(3)=\sqrt{\frac{7}{27}}=\frac{\sqrt{21}}{9}\approx 0{,}5092.
Mantendo as unidades originais: v está em milhares de usuários por mês, então v(3)\approx0{,}5092 corresponde a cerca de 509{,}2 usuários por mês. (Mas na seção de resposta eu deixo apenas o valor pedindo.)

Resposta

v(x)=\sqrt{-x+88\,x^{-3}}
v(3)=\sqrt{\dfrac{7}{27}}=\dfrac{\sqrt{21}}{9}\approx0{,}5092

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