Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas (escrevendo as partes separadas para ficar claro):
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
O que se quer: encontrar a solução geral (família de curvas) que satisfaz essa equação diferencial, isto é, uma constante
tal que alguma função
satisfaça
.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação do tipo
é exata quando existe uma função
tal que
Um teste prático: calcular
e
e ver se são iguais.
Calculemos:
pois
depende só de
e sua derivada parcial em relação a
é zero.
Agora
pois
depende só de
e sua derivada parcial em relação a
é zero.
Como
a equação é exata. Bom sinal — podemos procurar a função potencial
.
Passo 3
Pela exatidão, existe
tal que
e
. O procedimento padrão é:
- integrar
em relação a , tratando como constante, obtendo até uma “constante” que pode depender de (pois a integral em pode ocultar termos que dependem só de ); - determinar essa função de
usando a condição .
Vamos executar.
Passo 4
Integrar
em relação a
:
Tratando
como constante dentro da integral:
-
-
(porque ).
Portanto, após a integração obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 5
Agora usamos a segunda condição
para achar
. Diferenciando
em relação a
:
Devemos ter
. Igualando:
Cancelando o termo
(aparece dos dois lados), resta
Integrando em
:
onde
é constante real. Essa constante pode ser incorporada ao lado direito final da solução.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
. Absorvendo
na constante geral
, escrevemos a solução de forma simples:
onde
é uma constante arbitrária.
Dica rápida para a prova: o passo-chave é sempre verificar
e
. Se não forem iguais, pense em fatores integrantes (integrating factors) dependentes só de
ou só de
; aqui não precisei disso porque já era exata.