Resolva as equações diferenciais abaixo.
\left(2 x y^{3}-\sin (x)\right) d x+\left(3 x^{2} y^{2}+e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(2 x y^{3}-\sin(x)\right)\,dx+\left(3 x^{2} y^{2}+e^{y}\right)\,dy=0.
Informações dadas (escrevendo as partes separadas para ficar claro):
  • M(x,y)=2 x y^{3}-\sin(x) é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=3 x^{2} y^{2}+e^{y} é o coeficiente de dy.
O que se quer: encontrar a solução geral (família de curvas) que satisfaz essa equação diferencial, isto é, uma constante C tal que alguma função \Phi(x,y) satisfaça \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata quando existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático: calcular \frac{\partial M}{\partial y} e \frac{\partial N}{\partial x} e ver se são iguais.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y^{3}-\sin(x)\bigr)=2x\cdot 3y^{2}=6 x y^{2},
pois \sin(x) depende só de x e sua derivada parcial em relação a y é zero.
Agora
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3 x^{2} y^{2}+e^{y}\bigr)=3\cdot 2 x\,y^{2}=6 x y^{2},
pois e^{y} depende só de y e sua derivada parcial em relação a x é zero.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=6 x y^{2},
a equação é exata. Bom sinal — podemos procurar a função potencial \Phi(x,y).

Passo 3

Pela exatidão, existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. O procedimento padrão é:
  1. integrar M em relação a x, tratando y como constante, obtendo \Phi(x,y) até uma “constante” que pode depender de y (pois a integral em x pode ocultar termos que dependem só de y);
  2. determinar essa função de y usando a condição \Phi_y=N.
Vamos executar.

Passo 4

Integrar M(x,y) em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \bigl(2 x y^{3}-\sin(x)\bigr)\,dx.
Tratando y como constante dentro da integral:
  • \displaystyle \int 2x y^{3}\,dx = y^{3}\int 2x\,dx = y^{3}\cdot x^{2}=x^{2}y^{3}.
  • \displaystyle \int -\sin(x)\,dx = \cos(x) (porque \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x).
Portanto, após a integração obtemos
\Phi(x,y)=x^{2}y^{3}+\cos(x)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 5

Agora usamos a segunda condição \Phi_{y}=N para achar h(y). Diferenciando \Phi em relação a y:
\Phi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}+\cos x+h(y)\bigr)=3x^{2}y^{2}+h'(y).
Devemos ter \Phi_{y}=N(x,y)=3x^{2}y^{2}+e^{y}. Igualando:
3x^{2}y^{2}+h'(y)=3x^{2}y^{2}+e^{y}.
Cancelando o termo 3x^{2}y^{2} (aparece dos dois lados), resta
h'(y)=e^{y}.
Integrando em y:
h(y)=\int e^{y}\,dy=e^{y}+C_{0},
onde C_{0} é constante real. Essa constante pode ser incorporada ao lado direito final da solução.

Passo 6

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial
\Phi(x,y)=x^{2}y^{3}+\cos x+e^{y}+C_{0}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Absorvendo C_{0} na constante geral C, escrevemos a solução de forma simples:
x^{2}y^{3}+\cos x+e^{y}=C,
onde C é uma constante arbitrária.
Dica rápida para a prova: o passo-chave é sempre verificar \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se não forem iguais, pense em fatores integrantes (integrating factors) dependentes só de x ou só de y; aqui não precisei disso porque já era exata.

Resposta

x^{2}y^{3}+\cos x+e^{y}=C

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